천문학

Allan Variance(펄서의 경우)를 어떻게 계산합니까?

Allan Variance(펄서의 경우)를 어떻게 계산합니까?


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저는 이번 여름에 펄서 타이밍을 연구하고 있으며 N. Ashby와 D.A.의 것과 같이 펄서 측정과 함께 몇 가지 인기 있는 시계를 포함하는 많은 Allan Deviation 플롯을 발견했습니다. 하우:

어디서부터 시작해야 할지 막막합니다. 어떤 방정식이 적절할까요? NANOGrav Public Data Set에서 펄서 타이밍 데이터를 가지고 있는데, Tempo2를 통해 볼 수 있습니다 (템포 2가 어떻게 작동하는지 알아내는 즉시 볼 수있을 것입니다). 다른 소프트웨어가 있다면 이 작업에 도움이 될 만한 다른 소프트웨어를 추천할 수 있습니다.

다른 시계에 대한 데이터를 공개적으로 사용할 수 있는 위치도 확실하지 않습니다. 비슷한 계산을 한 과학자가 올바른 방향으로 나를 가리킬 수 있기를 바랍니다.


따라서 토론과 논문 읽기 후에 Matsakis, Taylor 및 Eubanks가 이 논문에서 sigma_z 계산에 대해 배웠습니다. 여러 천문학자들이 나에게 이것을 추천했습니다. 나는 또한 Stable32를 사용해 보라고 들었지만 그것이 펄서에 효과가 있는지 확실하지 않습니다. sigma_z 계산을 위한 코드는 sigma_z 계산에서 찾을 수 있습니다. 나는 이것이 내가 요청한 것을 수행하는 가장 좋은 방법이라고 생각합니다.


석영이 정확한 주파수로 진동한다면 어떻게 원자 시계가 더 정확할 수 있습니까?

모든 클럭에는 어느 정도 기본적인 수준의 소스 노이즈가 있으며 안정성을 측정하는 다양한 방법이 있습니다. 수정의 경우, 짧은 시간 척도와 긴 시간 척도 모두에서 주파수를 변경하는 여러 효과가 있습니다. 짧은 시간 척도를 생각하는 좋은 방법은 시계의 틱의 정밀도, 즉 틱이 발생했을 때 얼마나 잘 측정 할 수 있는지입니다. 긴 시간 척도의 경우 시계의 경우 매월 재설정해야 한다는 사실을 생각할 수 있습니다. 한 달 안에 60초 느려지거나 60초 빨라질 수 있습니다. 하지만 지금부터 한 달을 더하면 60 초에서 60 초로 느려질 수 없습니다. 60초 빠르면 (지금부터) 59초 빠를 수도 있고 62초 빠를 수도 있고, 그 값에 가깝습니다. 날짜 사이의 오프셋 사이에는 약간의 상관 관계가 있습니다. 그러나 지금부터 한 달 후 시계의 눈금은 기본적으로 오늘과 같습니다. 따라서 발생하는 노이즈의 다른 시간 척도를 얻는 방법과 서로 다를 수 있는 방법입니다.

시계의 안정성을 측정하는 한 가지 방법은 앨런 분산이라는 양을 사용하는 것입니다. 두 번째 플롯에서 주파수의 함수로 일부 편차(오차)로 표시되는 주파수 안정성을 볼 수 있습니다(또는 이 경우 시간, 그래서 반전됨). 대부분의 시계는 이러한 특징적인 모양을 가지고 있습니다. 짧은 시간 척도에 일부 노이즈 소스가 있어 오류가 증가하고 일부 노이즈 소스가 긴 시간 척도에 있어 다시 오류가 증가합니다. 이러한 종류의 플롯은 주어진 빈도/시간 척도에서 얼마나 많은 오류가 있는지 알려줍니다.

저는 펄서에서 일하기 때문에 천체 물리학 시계 역할을 하는 두 개의 유명한 펄서에 대한 앨런 분산 플롯이 있습니다. 그들 중 하나에 대한 특성 곡선을 볼 수 있지만 다른 하나는 볼 수 없습니다. 그것은 그것이 존재하지 않는다는 것을 의미하는 것이 아니라 우리가 충분히 긴 데이터 세트를 가지고 있지 않다는 것을 의미합니다. PSR B1937+21은 짧은 시간 단위에서 더 나은 클럭(낮은 sigma_z, 즉 낮은 오류)이지만 긴 시간 단위에서는 PSR B1855+09가 더 나은 클럭이지만 언젠가는 나타날 수도 있습니다.

원자 시계는 매우 유사해 보이지만 곡선은 질적으로 동일하게 보일 수 있지만 원자 시계의 종류가 다양하기 때문에 최소값이 발생하는 위치가 매우 다를 수 있습니다. 따라서 일부는 짧은 시간 척도에서 더 안정적이고 일부는 긴 시간 척도에서 더 안정적입니다. 그러나 모든 것이 기본적으로 쿼츠 시계로 얻을 수 있는 안정성보다 낫습니다.


1. 소개

[2] 가변 다이오드 레이저 흡수 분광계(TDLAS)에 의한 초기 대기 측정이 도시 CO 측정을 위한 장거리 역반사체를 사용하여 보고되었기 때문에 [ 힝클리와 켈리, 1971 Kuet al., 1975 ], 이 방법은 고정식 및 이동식 플랫폼뿐만 아니라 해상의 항공기 및 선박에서 지상의 다양한 기체 종을 측정하는 데 광범위하게 사용되었습니다. 미량 가스 농도에 적용되는 것 외에도 (리뷰 참조 브라싱턴 [1995 및 그 안의 참고 문헌], Kormann et al. , 그리고 Fried et al. [2003]) 및 현장에서의 플럭스 측정 [ 앤더슨과 자나이저, 1992 Wienhold et al., 1994 Edwards et al., 1994 Zenker et al., 1998 Horiiet al., 1999 ], TDLAS는 높은 특이성, 간섭으로부터의 자유 및 빠른 시간 응답 때문에 다른 방법과 비교되는 기준 방법으로 자주 사용됩니다. 예를 들어, Heikes et al. [1996]은 Mauna Loa 광화학 캠페인 동안 4개의 다른 기술과 함께 배치된 TDLAS를 사용하여 원격 하부 대류권에서 포름알데히드 측정 방법 비교를 수행했습니다. Gilpin et al. [1997]은 5가지 다른 측정 기술과 표준 가스의 절대 정확도를 확인하기 위해 임무 참조로 사용된 TDLAS 시스템을 사용하여 포름알데히드 측정 비교 연구를 수행했습니다. Hollowayet al. [2000]은 두 개의 진공 UV 형광 기구를 평가하기 위해 NOAA WP-3 항공기에 사용된 TDLAS 시스템으로 항공기 기반 일산화탄소 측정을 수행했습니다.

[3] 2002년 7월 10일부터 8월 7일까지 PM2.5 기술 평가 및 특성화 연구-뉴욕(PMTACS-NY) 2002 집중 측정 캠페인이 Whiteface Mountain 기지국(44°23.6'N, 73°51.5)에서 수행되었습니다. 'W) 뉴욕주립대학교 올버니대학교 대기과학 연구센터 소장. PMTACS-NY의 주요 목표 중 하나는 새로운 측정 기술을 평가하고 일상적인 모니터링을 위한 잠재력을 확립하는 것이었습니다. 이 캠페인에서는 Aerodyne Research, Inc.에서 개발한 듀얼 다이오드 레이저 시스템이 사용되었습니다. 대기 중 중요한 기체 HCHO, NO의 정확한 측정2 그리고 SO2 이중 TDLAS 시스템뿐만 아니라 Alpha-Omega Methanalyzer, 실리카겔 DNPH 카트리지 기술, 광분해 NO-NO를 포함한 5 개의 다른 검출 기술에 의해 수행되었습니다.엑스 분석기, TEI 42C NO-NO엑스 분석기 및 TEI 43C 펄스 형광 SO2 분석기.

[4] 이 논문에서는 기기의 광학 레이아웃, 전자 장치, 데이터 처리 및 스펙트럼 분석 기술을 포함하는 이중 TDLAS 시스템에 대해 간략하게 설명합니다. HCHO, NO 측정에 사용되는 흡수 특성에 대한 논의가 특히 강조됩니다.2 그리고 SO2 현장 캠페인의 농도, 실험실 실험 및 현장 측정 모두에서 실험 매개변수 및 기기 성능의 결정. HCHO, NO의 시계열2 그리고 SO2 제시하고 실험 결과에 대한 간략한 논의가 이어집니다. 더 자세한 실험 결과와 해당 기기 비교는 별도의 문서에 나와 있습니다.


타이밍 및 탐색에 관한 몇 가지 역사적 사실

갈릴레오의 깨진 렌즈는 이탈리아 피렌체의 유명한 과학사 박물관에서 볼 수 있습니다. 이 렌즈로 그는 목성의 위성 3개를 발견했습니다. 이 위성의 위치를 ​​설명하는 독특한 도구가 개발되었습니다. Giovilabio라고 불리는 이 17세기 악기는 하늘에 시계를 제공하는 일종의 아날로그 컴퓨터였습니다. 단일 GPS(Global Positioning System) 위성이 코스 위치를 결정하는 데 사용할 수 있는 것처럼 Giovilabio도 마찬가지입니다. 하지만 전 세계적으로는 아니지만 훨씬 더 많은 코스가 있습니다.

갈릴레오가 실수로 렌즈를 떨어뜨려 렌즈가 부러졌을 때 작업이 방해를 받았지만, 교회에 갇혔을 때만큼은 아니었습니다. 그의 매우 신중한 측정으로 인해 그는 지구가 우주의 중심이 아니며 하늘에는 지구가 아닌 다른 물체를 도는 물체가 있었습니다. 이것은 잘못된 전통이 지배하는 마음으로 하여금 잘못된 판단을 하게 만든 역사적 사례입니다. 우리는 이와 같은 시나리오에서 많은 것을 배웠습니다.

이미 1450년의 천문학자들은 경도가 달에 대한 고정된 별의 각도에 의해 결정될 수 있다고 제안했지만 별표는 부적절했습니다. 1675년 찰스 2세는 그리니치 천문대를 건설했고 그리니치 자오선이 확립되었습니다. 첫 번째를 준비하는 데 100년이 걸렸다. 항해 연감. 역사상 이 시기에 신대륙으로의 상업은 매우 중요했습니다.

경도를 결정하는 것의 결정적인 중요성은 1707년 Cloudsley Shovel 제독이 지휘하는 함대가 실리 제도에 충돌하여 4척의 배와 Cloudsley 경을 포함한 2,000명의 병사를 잃었을 때 비극적으로 초점이 맞춰졌습니다. 영국 왕관은 30마일의 정확도로 경도를 측정하기에 충분한 크로노미터에 대해 ‹ 20,000(현재 가치로 약 200만 달러)를 제안했습니다.

당시 21세였던 요크셔의 존 해리슨은 도전을 받아들여 나무와 금속으로 된 크로노미터를 만드는 데 평생을 바쳤습니다. 그는 14년 동안 한 달에 1초 이상 변하지 않는 나무 기어로 하나를 만들었습니다. 그의 4 번 크로노 미터를 사용한 항해는 플리머스에서 마데이라로 항해하여 약 1 마일의 위치 정확도를 제공했습니다. 천문학자 로열은 그 결과를 의심했다. 존이 70세가 되었을 때 또 다른 항해가 시작되었습니다. 이번에는 바베이도스로 향했습니다. 바다에서 5개월 후 그의 4번 호는 바베이도스의 위치를 ​​10마일 이내로 예측했습니다. 그는 보상금을 모으는 데 또다시 10년이 걸렸습니다. 3년 후, 그는 83세의 나이로 사망했습니다. 같은 해에 미국 애국자가 독립 선언서에 서명했습니다.

해리슨의 연구 이후에 내비게이션 크로노미터에 상당한 진전이 있었지만 1920년대가 되어서야 다음 단계로 넘어갔습니다. 이 10년은 수정 발진기의 발견과 개발을 가져왔습니다. 이 발견으로 지구 자전 속도(UT1)의 불안정성을 감지할 수 있는 석영 시계가 개발되었습니다. 이 시계는 탐색 및 기타 분야에서 크로노메트리의 모든 영역을 한 단계 더 발전시켰습니다.

Rabi의 아이디어에 따라 최초의 원자시계는 1948년 워싱턴 D.C.의 NBS에서 Lyons에 의해 제작되어 '49년에 세상에 선보였습니다. 그것은 약 8개의 유효 숫자(1x10 -8 , 지구 자전과 거의 동일)까지만 정확했으며 시계로 많이 사용되지 않았습니다. 1950 년대 초에 Lyons 그룹은 Ramsey의 노벨상을 수상한 이중 공명 공동 아이디어를 기반으로 세슘 빔 주파수 표준을 개발했으며 정확도가 2 배 향상되었습니다 (약 1x10 -10). 불행히도, 그것은 결코 시계로 사용되지 않았습니다.

원자 시간 측정은 1955년 6월 영국 테딩턴에 있는 국립 물리 ​​연구소에서 Essen과 Parry에 의해 세상에 소개되었습니다. 그들은 또한 시계의 "진자"로 세슘 빔 주파수 표준을 사용했지만 이번에는 이 세슘 원자 공명으로부터 주기의 연속 카운트를 유지하기 위해 "기어"를 추가했습니다. 그 이후로 원자 시간이 유지되었습니다.

위의 모든 발전과 발명으로 정확한 타이밍 장치는 비싸고 고도로 전문화되어 일반적으로 사용할 수 없었습니다. 지난 수십 년 동안 우리는 정확한 타이밍이 저렴하고 일반적으로 사용 가능하게 된 세계의 모든 역사에서 볼 수 없었던 변화를 목격했습니다. 정확한 타이밍은 이제 문명 세계에 큰 영향을 미칩니다. 우리가 전화를 받든, 비행기를 타든, (향후 몇 년 동안) 우리 차에서 최적의 경로를 매핑하든, 우리는 정확한 타이밍 기술을 통해이를 수행하고 목록은 계속됩니다. R&D 타이밍의 대부분은 이제 사회에 더 나은 서비스를 제공하는 방법에 전념하는 반면, 과거에는 더 나은 시계를 만드는 방법에 집중했습니다. 우리는 최근에 타이밍 애플리케이션의 엄청난 발전을 목격했습니다. 물론 주요 수혜자 중 하나는 내비게이션입니다. 글로벌 포지셔닝 시스템은 10 년 넘게 타이밍, 포지셔닝 및 내비게이션 분야에서 가장 중요한 공급자였습니다. GPS 수신기 가격이 매우 저렴해지면서 사용량이 증가했습니다.


이 가족을 인용하는 가족들 (28)

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발명의 요약

본 발명은 펄스형 천체 복사원을 이용하는 항법 시스템 및 방법을 제공한다. 시스템에는 펄스형 천체 복사 신호를 감지하기 위한 모바일 수신기가 포함되어 있습니다. 이동 수신기는 펄스 수신에 해당하는 타이밍 신호를 생성하기 위해 클록 또는 타이머와 통신합니다. 처리 수단은 선택된 관성 기준 프레임에 대한 펄스 천체 신호 수신의 예측된 시간과 측정된 시간 사이의 시간 오프셋을 계산합니다. 처리 수단은 또한 펄스 천체 복사의 알려진 소스의 위치 데이터를 저장하는 디지털 메모리 시스템과 통신합니다. 계산된 시간 오프셋과 함께 위치 데이터를 사용하여 처리 수단은 이동 수신기가 탑재된 우주선, 위성, 유성 로버 또는 기타 차량에 대한 항법 데이터를 계산할 수 있습니다.

복수의 펄스 천체 복사 소스에 의해 생성된 신호를 검출하기 위해 변위 가능한 수신기 수단을 사용하는 항법 시스템을 제공하는 것이 펄스 천체 복사 소스를 사용하는 항법 시스템 및 방법의 주요 목적입니다.

본 발명의 또 다른 목적은 각 신호의 검출 시간에 대응하는 도달 시간 신호를 생성하기 위해 변위 가능한 수신기 수단과 통신하는 타이머 수단을 제공하는 것이다.

본 발명의 또 다른 목적은 변위 가능한 수신기 수단과 선택된 관성 기준 프레임에서 기준 포인트 사이의 계산 된 거리에 기초하여 항법 데이터를 계산하기위한 프로세서 수단을 포함하는 펄스 천체 방사선 소스를 이용하는 항법 시스템을 제공하는 것이다.

본 발명의 중요한 목적은 프로세서 수단과 통신하는 디지털 메모리 시스템을 포함하는 항법 시스템을 제공하는 것이며, 디지털 메모리 시스템은 내부에 저장된 펄스형 천체 복사의 알려진 소스의 펄스 프로파일 특성과 위치 데이터를 갖는다.

본 발명의 또 다른 중요한 목적은 처리 수단이 계산된 시간 오프셋 및 계산된 시간 오프셋에 기초하여 변위 가능한 수신기 수단이 장착된 차량의 항법 데이터를 계산하는 펄스형 천체 복사원을 이용하는 항법 시스템 및 방법을 제공하는 것입니다. 천체 신호원의 알려진 위치 데이터.


NTP 서버용 플랫폼 선택

NTP 서버는 거의 모든 Unix 호스트(및 대부분의 Cisco 라우터, Windows NT, Windows 2000, OpenVMS 및 기타 플랫폼)에서 실행할 수 있습니다. 그러나 선택권이 있고 평범한 서버가 아닌 좋은 시간 서버를 선호하는 경우 최상의 플랫폼을 선택하는 데 약간의 노력을 기울일 가치가 있습니다.

  • 클럭 지터 내부 클록과 외부 기준 사이의 오프셋(위상)이 무작위로 변하기 때문에 발생합니다. 주로 백색 위상 노이즈로 나타납니다. 여기에는 두 가지 기여가 있습니다. 내부 클럭 지터 (컴퓨터 시계 판독값의 단기 무작위 변동)은 컴퓨터 시계가 개별 단계로 업데이트된다는 사실과 컴퓨터 로드 및 I/O 활동으로 인해 시계를 읽는 동안 다양한 대기 시간에서 비롯됩니다. 외부 기준의 지터 이는 주로 가변 네트워크 지연(다른 NTP 서버가 외부 참조로 네트워크를 통해 액세스되는 경우), 주파수 표준 자체의 신호 노이즈(로컬 또는 원격 NTP 서버에 연결됨) 및 클럭 인터페이스의 임의 지연에서 비롯됩니다.
  • 둘째, 컴퓨터 시계 발진기 주파수 변동, 이는 컴퓨터에서 일반적으로 사용되는 보상되지 않은 석영 발진기에서 상당히 중요합니다.

최소화하려면 클럭 지터, 더 길게 측정 간격이 필요하지만(임의의 측정 오류를 평균화하기 위해) 국부 발진기 주파수 불안정 기부금, 더 짧은 샘플링 간격이 필요합니다 (짧은 시간 동안 오실레이터 주파수가 표류 할 가능성이 적습니다). 샘플링 간격에서 최상의 절충안을 호출합니다. 앨런 인터셉트. 해당 샘플링 간격에서 Allan 분산은 최소입니다.

NTP는 클럭 지터를 필터링하고 좋은 샘플링 간격을 선택하는 작업을 잘 수행합니다. 두 가지 유형의 타이밍 오류를 낮게 유지하기 위해 컴퓨터, 환경, 운영 체제 및 외부 주파수 표준을 선택하는 것이 우리의 임무입니다.

클럭 지터 최소화

해결 컴퓨터 시계(또는 시계 세분성, 때때로 호출됨)은 클록 지터에 중요한 기여를 합니다. 컴퓨터 시계가 이전 컴퓨터의 경우처럼 초당 100회만 업데이트되면(그리고 일부 실시간 스레드 트릭을 사용하지 않는 한 여전히 Windows NT에 있음) 시계 판독값이 최대 10 실제 시간에서 ms, 평균적으로 절반 정도입니다. 오늘날 클록 인터럽트 비율에 대한 보다 일반적인 수치는 약 1000Hz이며, 평균 클록 판독 오류는 0.5ms입니다. 최신 컴퓨터 하드웨어 및 운영 체제는 컴퓨터 클록의 훨씬 더 나은 겉보기 또는 실제 해상도를 제공하기 위해 다른 트릭(예: 프로세서 주기 카운터(예: Pentium RDTSC 명령), 버스 주기 카운터 또는 성능 카운터 사용)을 사용할 수 있습니다. 마이크로초 클록 해상도는 거의 표준입니다. 이제 서브마이크로초 수준으로 합리적인 보간을 포함하는 나노초 클럭 표현은 더 이상 드물지 않습니다(예: 나노커널은 이제 FreeBSD에서 표준입니다). 더 높은 클럭 해상도를 지원하려면 컴퓨터 클럭을 읽고 설정하기 위한 적절한 프로그래밍 인터페이스 루틴이 제공되어야 합니다. 다음과 같은 키워드를 찾습니다. 마이크로 커널, 마이크로타임, 나노 커널, 실시간 커널 그리고 유사.

컴퓨터 시계 읽기는 일반적으로 시스템 루틴을 호출하여 수행됩니다. 그만큼 프로세스가 컴퓨터 시계를 읽는 데 필요한 시간 프로세스 스케줄링, 페이징 및 스와핑, 다른 프로세스의 인터럽트 및 하드웨어 인터럽트의 영향을 받습니다. 컴퓨터 시계가 절대적으로 정확하고 정확하더라도 시스템 루틴에 사용된 마이크로초 또는 2초 동안 정확히 언제 시계를 읽었는지 알 수 없습니다. 더 빠른 프로세서는 이러한 불확실성의 창을 최소화합니다.

NTP 서버가 CPU에 대한 부하가 매우 적더라도 페이징/스와핑 및 I/O 활동이 많은 호스트가 많이 로드되지 않도록 하여 이러한 클럭 지터의 원인을 최소화하는 것이 좋습니다. 정말 바쁜 호스트에서 더 나쁜 일이 발생할 수 있습니다. 클럭 인터럽트가 손실되거나 더 높은 우선순위 인터럽트에 의해 마스킹되어 시간에 큰 혼란을 일으킬 수 있습니다. NTP 소프트웨어는 중단을 어느 정도 보상할 수 있지만 정확도가 떨어지는 시간을 가져감으로써 대가를 치르게 됩니다.

간단한 프로그램이 있습니다 util/jitter.c 하드웨어 및 운영 체제가 제공하는 클럭 해상도를 결정하는 데 도움이 될 수 있는 NTP 소프트웨어 배포 키트에 있습니다. 컴퓨터 시계 해상도를 결정하는 데 도움이 되는 것 외에도 이 프로그램은 컴퓨터 시계 판독값에서 주기적이고 무작위적인 불규칙성을 확인하는 데 도움이 됩니다. gnuplot, Grace 또는 Dataplot과 같은 그래프 프로그램은 수집된 데이터를 시각화하는 데 편리합니다.

외부 주파수 표준에는 두 가지 선택이 있습니다. 인터넷(LAN 또는 WAN을 통해)에서 액세스할 수 있는 다른 하위 계층 NTP 서버와 무선 시계, 세슘 또는 루비듐 주파수 표준, GPS 수신기 등과 같은 로컬로 연결된 주파수 참조입니다. 두 경우 모두 가능한 한 낮은 지터/노이즈를 목표로 해야 합니다. 한편으로는 빠른 네트워크와 낮은 안정적인 네트워크 지연, 낮은 고유 지터를 가진 클록 소스와 함께 로컬 클록 인터페이싱에서 낮은 대기 시간과 낮은 랜덤 지연입니다. 다음 섹션에서 이 주제에 대해 더 자세히 설명하겠습니다.

  • 고해상도 클럭 (마이크로 초 이상의 해상도를 목표로 함)을 제공 할 수있는 운영 체제와 함께 컴퓨터를 선택하십시오. Windows NT는 아니 10ms의 클럭 해상도와 관련하여 좋은 선택, 최신 Unix 시스템으로 이동
  • 과도하게 로드된 호스트를 피하십시오. 일부 로드는 문제가 되지 않지만 놓친 클럭 인터럽트는 확실히 아니오입니다.
  • 지터가 낮은 외부 주파수 소스와 인터페이스를 선택하십시오.

컴퓨터 클록 주파수 불안정 최소화

일반적인 컴퓨터의 클록은 값싼 비보상 수정 발진기(RTXO)의 인터럽트를 계산하여 구현됩니다. 섹션 참조 왜 정확하고 정확한 컴퓨터 시간입니까? 그 특성에 대한 간략한 논의를 위해.

프로세서의 쿼츠 발진기를 더 안정적인 것으로 교체하는 것이 옵션이 아니라고 가정하면(하지만 다시 그럴 수도 있음) 이에 대해 할 수 있는 두 가지가 있습니다. 더 안정적인 발진기가 있는 컴퓨터를 선택하고 NTP 서버가 있는 컴퓨터가 작동할 환경에서 RTXO의 단기 주파수 드리프트의 가장 두드러진 원인인 온도 변화를 최소화합니다.

주파수 오프셋

서로 다른 공칭 주파수(f, 단위 : 1 / s 또는 Hz), 일반적으로 주어진 컴퓨터의 수정 발진기가 작동하는 공칭 주파수를 계수합니다. 나누어서 주파수 오프셋 = (에프실제 - 에프)에 의해 공칭 발진기 주파수, 우리는 얻는다 상대 빈도 = (에프실제 - 에프) / 에프 . 시간에 의존하는 무차원 양입니다. 편의를 위해 특히 석영 발진기를 다룰 때 종종 백만을 곱한 값을 표시하고 추가합니다. pps (parts per million)이지만 여전히 무차원 수량입니다.

상대 주파수는 다음과 같이 알려져 있습니다. 분수 또는 정규화된 주파수 이탈, y(t), 또는 정규화된 주파수 차이. 또한 시계 시간의 오류를 변경이 발생한 경과 시간 t로 나눈 변경입니다. NTP 문서 및 유틸리티는 일반적으로 이것을 호출합니다. 주파수 드리프트. 엄밀히 말하면 상대 주파수는 특정 순간의 주파수 측정이며 주파수 드리프트는 일정 기간 동안의 변화입니다.

평균 주파수 오프셋은 정확한 시간의 외부 소스와 동기화되지 않은 컴퓨터에서 부정확한 시간의 주요 원인이 되어 주당 1분의 시간 오프셋으로 이어질 수 있지만 NTP 서버로 쉽게 보정할 수 있습니다.

최대 500ppm의 상대 주파수는 NTP V4로, 최대 100ppm은 NTP V3으로 보상할 수 있습니다(예: 100ppm = 100e-6 = 1e-4 = 0.0001*3600*24*7초/주 = 60.48초). /주). 상대 주파수가 100ppm보다 큰 컴퓨터를 사용하는 것이 운이 좋지 않다면(저가 PC에서는 그리 드문 일이 아님) NTP V4를 선택해야 합니다!

방금 설명한 큰 상대 주파수는 그 자체로 문제가 아니지만 일반적으로 잘못된 석영 발진기 설계 또는 제조를 나타낼 수 있으며 불량한 전원 공급 장치 조정으로 인한 주파수 변동과 같은 다른 문제가 있을 수 있습니다. 내 (검증되지 않은) 조언은 NTP 서버용 플랫폼을 선택할 때 상대적 빈도가 높은 기계를 멀리하라는 것입니다. 이 기계는 분명히 정확한 시간 기록을 위해 설계되지 않았습니다. 상대 빈도가 대략 20ppm 또는 50ppm 미만인 플랫폼을 목표로 합니다.

상대 주파수가 측정 간격 동안 거의 일정하다는 가정하에 상대 주파수를 측정하는 것은 매우 쉽습니다. 상대 주파수의 절대값이 변동(예: 온도 변동 및 노화)에 비해 클 때 진실에 가깝습니다. 여기서 우리의 우려는 현재입니다.

한 가지 기본적인 방법은 컴퓨터의 시간을 알려진 좋은 시간으로 설정하는 것입니다 (예 : ntpdate -b 일부 참조 호스트), 이 작업이 완료되었을 때 벽시계를 확인한 다음, 다음을 사용하여 하루나 이틀 후에 확인 ntpdate -bq 일부 참조 호스트. 보고된 시간 오프셋을 두 호출 사이의 시간 간격으로 나누어 (평균) 상대 빈도를 제공합니다. 경사 (선형적으로) 증가하는 시간 오프셋. 달력 시계(하드웨어 시계, 실시간 시계, RTC, CMOS 시계), NTP 서버 또는 기타 시간 유지 소프트웨어와 같이 시계를 제어하고 조정하는 메커니즘이 활성화되어 있지 않은지 확인하십시오.

더 쉽고 정확한 방법은 NTP를 설치하고 정상적이지만 반드시 좋은 NTP 서버와 동기화되도록 하는 것입니다. 하루나 이틀 후 파일 내용 확인 /etc/ntp.drift, 또는 명령 실행 ntpdc -c 루프 그리고 라인을 찾아라 주파수: xx.xxx ppm .

주파수 변동(드리프트)

합리적인 평균 상대 빈도와 이전 섹션의 기준을 만족하는 고품질 NTP 서버에 대해 몇 가지 후보 호스트를 선택했다고 가정해 보겠습니다. 클럭 지터 최소화.

후보 호스트에 NTP 데몬을 설치하고 합리적으로 좋은 기존 NTP 서버와 동기화합니다. 더 좋은 방법은 세 개의 외부 NTP 서버를 선택하는 것입니다. 이 시점에서 이러한 외부 NTP 서버의 품질은 그다지 중요하지 않습니다. 단지 정상으로 보이고 네트워크 왕복 지연 시간이 100ms 이내이고 서로 몇 ms 이내인지 확인하십시오. 지연 보고됨 ntpq -p 유틸리티이지만 아마도 또는 경로 추적 이 목적으로도 좋습니다.

NTP 데몬(/etc/ntp.conf) 다음과 같은 옵션을 포함합니다.

한 시간 정도 후에 확인하십시오. ntpq -p 후보 호스트가 외부 서버와 동기화되었는지 확인하고 로그 파일이 /var/adm/ntp-loopstats 모든 후보 호스트에서 성장하고 있습니다(확인하기 위해 내용을 살짝 살펴보세요). 며칠 동안 모두 실행하십시오.

루프 로그 파일을 수집합니다. 다음과 같은 내용을 포함해야 합니다.

처음 두 필드는 날짜(Modified Julian Day)와 시간(초 및 UTC 자정 이후의 분수)을 표시합니다. 다음 5개 필드는 시간 오프셋(초), 주파수 오프셋(백만분율 - PPM), RMS 지터(초), 알란 편차(PPM) 및 클록 규칙 시간 상수(로그2 선택한 동기화 소스에 대한 폴링 간격).

gnuplot, Grace 또는 Dataplot과 같은 그래프 프로그램을 사용하거나 원하는 대로 시간에 대한 상대 빈도(열 4)를 표시합니다(처음 두 필드: 예: 공식(열(1) - 51673 + 열(2)/ 86400.0은 위의 예에서 첫 번째 날의 UTC 자정 이후 일 단위로 샘플을 채취한 시간(소수)을 제공합니다.비교할 수 있도록 각 열 4 샘플에서 열 4의 평균을 빼는 것이 좋습니다. 동일한 규모에서 다른 평균 오프셋을 가진 호스트.

이제 이 그래프를 비교하여 다음 기능을 찾습니다. 각 호스트의 주파수 변동량, 주파수 변경의 갑작스런(1차 미분), 주파수의 급격한 점프.

NTP 루프 주파수 그래프는 NTP 서버의 동작에 대해 전반적으로 좋은 인상을 줍니다. 상대 주파수 평균 값은 중요하지 않으며(이것이 우리가 평균을 뺄 것을 제안한 이유입니다) 주파수의 느린 변화(예: 느린 열 드리프트 또는 석영 발진기의 노화로 인한)도 모두 NTP에 의해 쉽게 보상됩니다.

  • 실내 온도의 빠른 변화(예: 컴퓨터 섀시에 강한 직사광선, 에어컨 없음, 너무 가혹하게 작동하는 에어컨 규제, 에어컨 장비에서 컴퓨터 섀시로의 직접적인 공기 흐름)
  • 서로 시간이 일치하지 않는 여러 하위 계층 서버 간의 클록 호핑
  • 타이머 인터럽트를 놓치거나 ntpd 정기적으로 시계를 조정합니다.

예: 다음 다이어그램은 상대 빈도가 며칠 동안 어떻게 변하는지 보여줍니다. 모든 경우에 실험 기간 동안의 평균 상대 빈도를 샘플에서 빼서 0 주위에 떠 있게 했습니다.

첫 번째 다이어그램은 제대로 작동하는 일부 NTP 서버를 보여줍니다. 파란색 추적은 GPS 시계와 작은 PLL 시간 상수(에어컨 주기를 추적하는 동안 주파수 변화에 대한 빠른 응답을 유발)가 있는 우리의 Stratum-1 서버이고, 나머지 추적은 잘 작동하는 다른 Stratum-2 및 Stratum- 슬로베니아에 3개의 서버가 있습니다. 상대 빈도는 며칠 동안 1ppm 이상 변하지 않으며 변화가 부드럽습니다.

다음 다이어그램은 WAN을 통해 해당 참조에 동기화된 3개의 다른 Stratum-2 서버의 동작을 보여줍니다. 이전 다이어그램과 비교하여 크기가 10배만큼 변경된 Y 스케일에 유의하십시오. 주파수 변화는 더 크지만 ntpd 여전히 상황을 통제하고 있는 것 같습니다.

이 섹션의 마지막 항목은 CPU 부하가 너무 커서 심각한 문제가 있는 공용 Stratum-2 서버의 예입니다. 주파수 보상의 급격한 변화(상단 빨간색)로 인해 시간 오프셋 오류(하단 파란색 추적)는 일반적으로 +/- 40ms를 초과하고 경우에 따라 +/- 80ms를 초과합니다.

3.5일째부터 시작하는 다이어그램의 오른쪽은 주파수 오류와 결과적인 시간 오프셋 사이의 관계를 잘 보여줍니다. 시간은 주파수의 적분이므로, 경사 시간 오프셋 오류의 (1차 미분)은 주파수 오프셋에 비례합니다.

참고: 상대 주파수 샘플(소위 "루프 주파수")은 ntpdc -c 루프 관련된 각 호스트에 대해 10분마다. 마지막 예의 시간 오프셋은 근처의 GPS 동기화 NTP 서버에 대해 측정되었습니다.

수정 발진기의 온도 의존성

수정 발진기의 열 안정성이 더 좋은 컴퓨터를 선택하면 주파수 변동을 최소화하고 결과적으로 시간 오프셋 오류를 발생시키는 데 도움이 됩니다. 각 후보 컴퓨터의 섭씨 1도당 주파수 변화를 대략적으로 측정하거나 여러 컴퓨터가 동일한 환경(방)을 공유하는 경우 서로 비교하고 절대 수치는 신경 쓰지 않아도 됩니다.

발진기 주파수의 온도 종속성을 측정 할 때 종속성은 비선형이며 공기 습도, 기압, 진동, 방향, 자기장, 전원 공급 장치의 변화와 같은 다른 요인에 따라 달라진다는 점을 명심해야합니다. 노화로 인해 장기간에 걸쳐 변화합니다. 따라서 우리는 예상되는 실내 온도의 작은 범위에 대한 대략적인 추정치와 씨름해야 합니다.

또한 염두에 두어야 할 것은 실내 온도의 변화가 컴퓨터 섀시 내부의 오실레이터의 새로운 안정적인 온도를 가져오는 데 시간이 걸리며 NTP 데몬이 이 변화(설정 서버 맥스폴 6으로 설정하면 이 시간이 다소 단축될 수 있지만 실험이 끝난 후 이 설정을 제거하는 것을 잊지 마십시오).

  1. 측정 기온 컴퓨터 캐비닛의 공기 흡입구 근처(또는 단지 실내 온도, 또는 아마도 CPU 보드 근처의 온도), 동시에 기록 상대 빈도 (ppm 단위) 위에서 설명한 대로 (명령을 실행하여) ntpdc -c 루프, 또는 loopstats 파일을 보거나 파일을 보거나 /etc/ntp.drift 파일이 상당히 최신인 경우).
  2. (에어컨을 조정하거나 창문을 여는 등) 실내 온도를 몇 도 정도 변경하고 몇 시간 동안 안정화시킨 다음 공기 온도와 상대 주파수를 다시 측정합니다. 상대 주파수 변화의 그래프를 그리면(위에서 설명한 대로) 주파수가 언제 새 값으로 안정화되었는지 더 명확하게 알 수 있습니다.
  3. 계산: (new_f - old_f) / (new_temperature - old_temperature) , 우리가 찾고 있는 것을 얻습니다: 섭씨 도당 상대 빈도(ppm)의 변화(단위: [ppm/K]).

결과 수치의 부호는 흥미롭지 만 우리의 목적에는 중요하지 않지만 절대 값은 후보자 중에서 더 나은 플랫폼을 선택하는 데 도움이 될 수 있습니다. 1ppm/K의 수치는 RTXO 석영 발진기의 경우 일반적이며, 0.2ppm/K 아래의 수치는 매우 좋은 선택을 나타내고, 2ppm/K 이상의 수치는 저렴한 PC 플랫폼에 일반적이지 않으며 높을수록, NTP 서버가 더 불안정해질 것입니다.

예: 다음 다이어그램은 에어컨이 설치된 동일한 방에 서로 가깝게 위치한 두 개의 유사한 NTP V4 Stratum-2 서버의 동작을 보여줍니다. 참조 계층-1 서버는 WAN(왕복 지연 약 50ms)을 통해 액세스하므로 일반적인 폴링 간격이 1024초이고 결과적으로 PLL 시간 상수가 커집니다. 의 쿼츠 오실레이터 호스트 P 상대적으로 큰 온도 의존성이 있습니다. 다이어그램에서 판단하면 온도 계수는 약 +1.2ppm/K입니다.다른 호스트 K 온도 계수가 거의 20배 더 낮으며(더 나은 섀시 설계로 인한 것일 수도 있음) 참조용으로 표시됩니다.

에어컨을 가동했음에도 불구하고 컴퓨터 캐비닛 근처의 온도 변화는 거의 섭씨 3도의 일일 피크 대 피크 범위를 보여주지만 3일 차 정오(시간 = 3.5)의 온도 편차는 다른 이유 때문입니다. 다행스럽게도 온도 변화는 점진적이고 매우 부드럽습니다. 에어컨 장비의 직접적인 공기 흐름이 컴퓨터 캐비닛에 닿지 않았습니다.

온도 변동(흐릿한 빨간색 트레이스)의 결과로 주파수 변화(3개의 트레이스 중 맨 위 세트의 녹색 트레이스)를 명확하게 관찰할 수 있습니다. 온도 감소의 결과(약 t=1.7에서 시작하는 다이어그램을 고려하고 호스트 P 짙은 녹색 및 짙은 파란색 트레이스로 표시) 수정 발진기 주파수가 감소합니다(표시되지 않음) -- 컴퓨터 시계가 느려져 시간이 기준 시간보다 늦어지게 합니다(짙은 파란색 트레이스가 양수: ref_time - our_time > 0). ntpd 주파수 드리프트 보상을 변경하여 새로운 상대 주파수에 대한 보상을 시작합니다(진한 녹색 트레이스가 떨어지기 시작함). 온도 변화와 후속 주파수 드리프트 보상 변화 사이의 지연은 큰 PLL 시간 상수로 인해 발생합니다. 지연은 다이어그램에서 이 폴링 간격에서 약 3시간으로 추정할 수 있습니다.

이 예는 +/- 5ms에서 최대 30ms의 시간 오프셋 오류가 상대적으로 큰 PLL에 의해 증가된 컴퓨터실의 온도 변동과 결합된 수정의 상대적으로 큰 온도 계수의 직접적인 결과임을 분명히 보여줍니다. WAN 동기화된 Stratum-2 서버의 일반적인 시간 상수입니다.

다른 중요한 문제는 시간 오프셋 오류가 변화율 온도의 (1차 미분): 주파수 보상 반응 시간(PLL 시정수)은 동일하게 유지되므로 결과적으로 실제 주파수와 예측 주파수 간의 차이는 주파수 변화율이 증가함에 따라 증가합니다. 급격한 주파수 변경 ntpd PLL 시간 상수를 낮추어 반응하지만 우리의 경우에는 발생하지 않았습니다.

참고: 시간 오프셋은 근처의 GPS Stratum-1 서버에 대해 측정되었습니다(일부 임의 노이즈 및 시간 오프셋에서 간헐적으로 누락된 샘플은 이 측정 방법으로 인해 발생함). 주파수 드리프트 보상 값은 ntpdc -c 루프, 온도는 저가 어댑터(DS9097U-S09)를 통해 RS-232 인터페이스에 연결된 컴퓨터 캐비닛 근처의 DS1820 온도 센서에 의해 샘플링되었습니다.


인공위성 원자시계 이상에 대한 자기감시 방법 연구.

항법 위성의 가장 중요한 기능은 위성 신호를 통해 사용자가 자신의 위치를 ​​파악할 수 있도록 지원하는 것이며, 이때 위성 시간은 가장 중요한 요소 중 하나입니다. 온도, 습도, 복사열의 변화 및 위성 시계의 노화로 인해 시계의 물리적 및 전기적 부분 모두에 문제가 있을 수 있으며, 이는 시계 신호에 이상을 가져와 위성 시간 또는 심지어 예측할 수 없어 재앙적인 결과를 초래할 수도 있습니다. 따라서 위성 시계의 이상 모니터링은 매우 중요합니다.

지금까지 연구자들은 간섭계 검출 방법[1], 최소 자승법(LS) 검출 방법[2, 3], GLRT(Generalized Likelihood Ratio Test)[4-6], 칼만 필터링(Kalman Filtering)과 같은 시계 이상을 모니터링하는 기법을 제안했습니다. 방법 [7-10] 및 동적 알란 분산(DAVAR) 방법 [5, 11-13]. 그들의 계획이 일부(전부는 아님) 이상에 대해 효과적인 것으로 입증되었지만 자가 모니터링을 실현하려면 여전히 몇 가지 추가 작업이 필요합니다.

정상적인 상황에서 지상국은 위성 신호를 지속적으로 추적하여 시계의 상태와 성능을 평가할 수 있습니다. 그러나 위성이 지상국의 시야를 벗어나 날아갈 때 또는 어떤 이유로 인해 위성은 몇 시간 또는 심지어 며칠 내에 위성이 지상국과 접촉하지 못하고 위성이 자체적으로 시계의 상태를 판단해야 합니다. 지상국 부재시 시계이상 자가모니터링은 위성이 자체적으로 시계를 모니터링하여 위성시계의 동작상태를 판단하는 것이다.

위성 시계의 일반적인 이상은 신호 손실, 위상 점프, 주파수 점프, 순간 열화, 안정성 및 주파수 드리프트 속도 열화입니다.

이 논문의 기여는 다음과 같이 요약될 수 있다.

본 논문에서는 위성의 신뢰성을 향상시키기 위한 일련의 자체 모니터링 알고리즘을 제안한다. 위성 시계 이상을 모니터링하기 위해 두 가지 방법이 제시됩니다. 첫 번째 방법은 PLL을 기반으로 하며 신호 손실과 위상 및 주파수 점프를 감지할 수 있습니다. 3개 클럭 간의 상호 비교에서 얻은 측정 데이터를 기반으로 Modified DAVAR는 위상 및 주파수 점프 및 순간적인 열화를 감지하는 데 사용되며 윈도우 중첩 Hadamard 분산을 사용하여 실시간으로 클럭 안정성을 평가하고 3-상태 칼만 필터를 사용하여 큰 드리프트 속도를 감지합니다.

PLL에 기반한 방법은 효과가 입증되었으며 최신 BeiDou 위성에 사용되었습니다. 그리고 본 논문의 자체 모니터링 방법에 대한 또 다른 연구는 차세대 항법 위성에 활용될 수 있다.

2. 위성 이상에 대한 자체 모니터링 방법

일반적으로 원자 시계를 평가하는 방법에는 (1) 평가된 시계보다 안정성이 훨씬 우수한 표준 기준과 시계 신호를 비교하는 방법과 (2) 안정성이 거의 동일한 3개 이상의 시계를 상호 비교하는 두 가지 방법이 있습니다.

위성에는 표준 기준이 없고 위성 시계의 성능이 비슷하기 때문에 두 번째 방법을 사용하여 이상에 대한 자체 모니터링을 구현합니다. 개략도는 그림 1에 나와 있습니다.

먼저, Δ[t.sub.1]은 시계 1의 시간 오차로 정의하며, 이는 시계 시간과 표준 시간의 차이입니다. Δ[t.sub.12]는 클록 1과 클록 2 사이의 시간차이다. 그림 1과 같이 3개의 클록이 모두 전원이 켜진 상태이다. 그들의 10MHz 신호는 위상차 측정 모듈의 입력 역할을 하며 이를 통해 시간차 데이터 [DELTA][t.sub.12], [DELTA][t.sub.13] 및 [DELTA][를 얻을 수 있습니다. t.sub.23] 그 중. Signal Processing Module은 시간차 데이터 [DELTA][t.sub.12], [DELTA][t.sub.13] 및 [DELTA][t.sub.23]를 사용하여 3개 클록의 상태를 평가합니다. 특정 알고리즘을 사용하여 마스터 클럭 선택기에게 전체 위성의 주파수 및 시간 소스로 적절한 클럭을 선택하도록 명령합니다.

본 논문에서는 [DELTA][t.sub.12], [DELTA][t.sub.13], [DELTA][t.sub.23]를 Modified DAVAR에 사용하여 위상 및 주파수 점핑을 모니터링하고, 3개 클럭의 안정성을 평가하고 드리프트율 이상을 모니터링하는 데 사용됩니다.

Figure 1의 PLL 기반 Self-Monitoring Module의 세부 구조는 Figure 2와 같다.

2.1. PLL 기반 자가 모니터링 방식. 그림 2는 이 방법의 기본 개략도를 보여줍니다. 위상 추적 시스템으로서 PLL은 참조 신호를 추적하기 위해 로컬 신호의 위상을 조정하는 데 사용됩니다. VCO(Voltage Controlled Oscillator)는 각각 AD 및 FPGA에 대한 샘플링 클럭과 작동 클럭을 제공합니다. Decision Module의 입력으로서 이 방법의 관찰된 양은 위상 검출기의 출력에서 ​​나옵니다. Decision Module의 출력은 마스터 클럭 선택을 돕기 위해 그림 1의 Signal Processing Module로 전송됩니다. 동시에 그림 1의 10MHz 신호는 그림 2의 AD에 의해 샘플링됩니다. 위상 검출기의 작동 주파수는 1000Hz입니다.

위상 또는 주파수 점프가 발생하면 PLL의 위상 검출기 출력이 따라옵니다. 이 섹션에서는 이러한 두 가지 이상에 대한 Phase Detector의 응답을 도출합니다.

[14]에 따르면, PLL의 기준 신호의 위상은 2π[f.sub.r]t + [φ1](t)이고 DDS(Direct Digital Synthesizer)의 위상은 출력은 2π[f.sub.r]t + [[phi].sub.2](t), 다음을 얻습니다.

K([φ1](s) - [φ2](s)) F(s) 1/s = [φ2](s), ( 1)

여기서 F(s) = (1 + s[[tau].sub.2])/s[[tau].sub.1]은 2차 이상 루프 필터의 전달 함수이고, 1/s는 정규화된 전달 함수입니다. DDS의 K는 루프 이득입니다. 식 (1)에서 우리는

[φ].sub.e](s) = [s/s + KF(s)] [φ].sub.1](s), (2)

여기서 [φ].sub.e](s) = [φ].sub.1](s) - [φ2](s)는 기준 신호와 로컬 사이의 위상차입니다. 신호 및 루프의 오류 전달 함수는 다음과 같이 표현될 수 있습니다.

[ASCII로 재현할 수 없는 수학적 표현] (3)

여기서 [[오메가].sub.n] = [(K/[tau].sub.1])의 제곱근]은 감쇠되지 않은 발진 주파수이고 [xi] = ([[tau].sub.2]/ 2) [(K/[τ1])의 제곱근]은 감쇠 계수입니다.

다음에서는 위상 및 주파수 점핑에 대한 위상 검출기의 추적 속성을 추론합니다.

2.1.1. 위상 점프. 위상 점프가 [φ1](t) = [Δφ] x [epsilon](t)로 쓰여질 수 있다고 가정하고, 그의 라플라스 변환은 [φ].sub로 표현될 수 있습니다. 1](s) = [DELTA][phi]/s인 경우 오류 응답은 다음과 같습니다.

[ASCII로 재현할 수 없는 수학적 표현] (4)

인수분해를 통해 (4)는 다음과 같습니다.

[φ].sub.e](s) = A/s - [s.sub.1] + B/s - [s.sub.2], (5)

[ASCII로 재현할 수 없는 수학적 표현] (6)

[ASCII로 재현할 수 없는 수학적 표현] (7)

(6)과 (7)을 고려하면 (5)의 역 라플라스 변환은 다음과 같이 표현될 수 있습니다.

[ASCII로 재현할 수 없는 수학적 표현] (8)

(8)에서 우리는 t = 0에서의 위상차가 루프 매개변수와 아무 관련이 없는 피크값에 도달함을 알 수 있습니다. 그림 3은 시뮬레이션 결과이며, PLL은 시작 부분에 잠겨 있고 기준 신호의 위상은 t = 500s에서 점프하여 위상 검출기의 출력에서 ​​명백한 점프로 이어집니다. 그림 3에서 3개의 PLL의 루프 매개변수는 [ωn] = 1,4, 10 및 [xi] = [2의 제곱근]/2이고 위상 점프의 진폭은 1/ [10.sup.8] 기준 신호의 주기. 루프 매개변수가 다르면 재잠금 프로세스가 다릅니다. 루프 대역폭이 좁을수록 추적이 느려집니다.

2.1.2. 주파수 점프. 주파수 점핑이 [π].sub.2](t) = [Δ][phi]tx [epsilon](t)라고 가정하고, 그의 라플라스 변환은 [π].sub.2](s) = [ DELTA][phi]/[s.sup.2], 오류 응답은 다음과 같이 표현될 수 있습니다.

[ASCII로 재현할 수 없는 수학적 표현] (9)

[ASCII로 재현할 수 없는 수학적 표현] (10)

[s.sub.1] 및 [s.sub.2]는 식 (6)으로도 설명할 수 있습니다. (6)과 (10)에 따르면, (5)의 역 라플라스 변환은 다음과 같이 표현될 수 있다.

[ASCII로 재현할 수 없는 수학적 표현] (11)

(11)에서 알 수 있는 바와 같이, 트래킹에서 위상차의 최대 진폭은 [ωn]에 반비례한다. 그림 4는 시뮬레이션 결과이고, PLL은 처음에 잠겨 있고 기준 신호의 주파수는 t = 500s에서 점프하여 위상 검출기의 출력에서 ​​명백한 점프로 이어집니다. 그림 4에서 루프 매개변수는 그림 3과 동일하고 주파수 점프는 4/[10.sup.11] 기준 신호 주파수와 같습니다. 루프 매개변수가 다르면 재잠금 프로세스가 다릅니다. 루프 대역폭이 좁을수록 추적은 느려지지만 점프는 훨씬 더 분명합니다.

2.1.3. 신호 손실. 그림 5와 같이 PLL이 잠겨 있고 t = 150s에서 기준 신호가 손실되었다고 가정하면 위상 검출기의 출력 점프 진폭은 다음 섹션에서 임계값보다 훨씬 크며 즉시 0으로 바뀌므로 쉽게 감지됩니다.

2.1.4. 요약. 그림 3, 4, 5에서 위상 점핑, 주파수 점핑 및 신호 손실이 모두 위상 감지기 출력에서 ​​명백한 점핑으로 이어져 위성 클록 신호의 이상을 모니터링할 기회를 제공한다는 것을 알 수 있습니다.

2.1.5. 시뮬레이션 및 탐지 성능. 실제로, 오경보의 확률(PFA)과 탐지 확률(PD)은 일반적으로 탐지 방법을 평가하는 데 사용됩니다. 매개변수(루프 매개변수 및 감지 임계값) 설정의 기본 원칙은 PD를 개선함과 동시에 PFA를 최소화하는 것입니다.

루프 매개변수와 감지 임계값은 주로 클록 노이즈 레벨과 필요한 분해능에 의해 결정됩니다. 노이즈의 크기를 평가하기 위해 안정성을 계산하기 위해 일반적으로 Allan Variance(12)를 사용합니다. 그리고 분해능은 알고리즘이 구별할 수 있는 위상 및 주파수 점프의 최소 범위입니다.

다음 시뮬레이션 동안 10000개의 실현을 시뮬레이션합니다.

시뮬레이션 1. MATLAB을 사용한 첫 번째 시뮬레이션 동안 [xi] = [2의 제곱근]/2, [[오메가].sub.n] = 4이며 2차 이상적인 루프 필터를 사용합니다. 클럭 신호의 상대 주파수 편차[y.sub.i](12)가 가우스 분포를 따른다고 가정하고, 알란 편차는 3E - 12/[τ의 제곱근]으로 표현될 수 있으며, 위상 및 주파수 점핑은 표 1과 표 2에 나와 있습니다. PD, PFA 및 1/[10.sup.8] 주기 위상 점핑 및 4/[10.sup.11] 주파수 점핑에서 감지 지연을 별도로 제공합니다. 탐지 지연은 Δt = m x T로 정의되며, 여기서 T는 샘플링 간격이고 m은 이상이 발생한 순간부터 알고리즘에 의해 탐지되는 순간까지 지속된 샘플링 지점의 수입니다. 따라서 실제로 그림 2에서 VCO의 출력 주파수에 의해 결정됩니다.

시뮬레이션 2. 두 번째 시뮬레이션에서는 원자 시계의 안정성에 따라 검출 임계값과 분해능이 변경됩니다. 표 3과 4가 그것을 보여줍니다.

분석. 0 < [xi] < 1일 때 PLL은 위상 및 주파수 점프가 급격한 발진을 일으키는 underdamped 시스템이라고 합니다. [xi] > 1이면 PLL이 과감폭되고 일반적으로 더 안정적이고 비정상적으로 느려집니다. 실제로 [xi] = 0.707로 설정하는 경우가 많으며 이는 안정성과 응답 속도 사이에서 허용 가능한 절충안입니다. 식 (11)과 그림 4에서, [ωn]이 너무 크면 주파수 점프에 대한 감지가 어려워지고 노이즈에 대한 억제도 약해짐을 알 수 있습니다. 반대로 [[omega].sub.n]이 너무 작으면 잠금 프로세스가 어려워지고 감지 지연이 길어지면 루프가 너무 민감해져서 Decision Module이 바닥 소음을 실수로 자주 점프하는 것으로 간주하여 PFA가 상승합니다. 시뮬레이션 동안 [ωn] = 4이며, 이는 PD와 감지 지연 사이의 절충안이기도 하며 필요에 따라 조정할 수 있습니다.

원자 시계의 노이즈 레벨은 표 3과 4에서 볼 수 있는 검출 분해능을 직접적으로 결정합니다. 분해능과 안정성 사이의 관계는 Re s(p) [거의 같음] (1E4/3) x [sigma ](1) 및 Re s(f) [거의 같음] (4E1/3) x [시그마](1), 임계값은 Thr [거의 같음] (11E3/3) x [시그마]( 1). 표 1과 2에서 PD는 99% 이상이고 PFA는 0.001% 미만이며 위상 및 주파수 점프 모두에 적절한 임계값이 있음을 알 수 있습니다. 또한, 표에 나열된 PD 및 PFA는 점핑 크기가 증가함에 따라 검출 성능이 향상되는 방법을 구별할 수 있는 최소 위상 및 주파수 점핑에 대한 것임을 유의해야 합니다. 사실 이 방법이 위성에서 사용되기 전에 우리는 그것을 실제 회로 기판에서 오랫동안 테스트했고 잘 작동합니다. 감지 지연은 위상 감지 주파수인 1000Hz에 따라 다릅니다. 위상 점프의 지연은 1ms이고 주파수 점프의 경우 0.5초 미만입니다.

PLL 기반의 방법은 위상 점핑, 주파수 점핑 및 신호 손실에 대한 자체 모니터링을 실현할 수 있습니다. 계산 복잡도가 낮고 이상을 감지하는 데 시간이 거의 들지 않습니다. 그러나 약한 이상 탐지 성능을 향상시키려면 위상 탐지기의 작동 주파수를 낮추어야 하므로 탐지 지연이 길어집니다. 실제로 우리는 위성 원자 시계의 큰 주파수 점프에 더 주의를 기울이며, 이는 분명히 위치 정확도에 영향을 미치며 우리의 PLL 방법은 이를 위해 설계되었습니다.

2.2. 통계에 기반한 자체 모니터링 방법

2.2.1. 앨런 바리에이션. 우리는 일반적으로 원자 시계의 안정성을 평가하기 위해 Allan 분산 [15, 16]을 사용하며 다음과 같이 표현할 수 있습니다.

[ASCII로 재현할 수 없는 수학적 표현] (12)

여기서 [tau] = m[[tau].sub.0]은 평균 시간이고 M은 [[bar.y].sub.i](m)의 양입니다. 지적해야 할 것은 [y.sub.i]가 상대 주파수 편차라는 것입니다. [f.sub.o]는 순시 주파수, [f.sub.r]은 공칭 주파수, [x.sub.i]는 i번째 측정 순간의 클록 시간 오차입니다.

멱법칙 스펙트럼은 주파수 영역에서 노이즈 속성을 분석하는 데 사용됩니다.

[ASCII로 재현할 수 없는 수학적 표현] (13)

여기서 [Sy](f)는 상대 주파수 편차에 대한 스펙트럼 밀도이고 [hα]는 다른 노이즈 유형에 해당하는 진폭입니다. 거듭제곱 법칙 스펙트럼 모델은 RW FM, Flicker FM, White FM, Flicker PM 및 White PM의 5가지 종류의 노이즈(α ​​= -2, -1,0, 1, 2)를 포함합니다. [[sigma].sup.2.sub.y]([tau])는 다음 5가지 종류의 노이즈에 의해 결정됩니다.

[ASCII로 재현할 수 없는 수학적 표현] (14)

앨런 분산의 기울기는 다른 평균 시간에서 노이즈 분포에 대한 지식을 제공합니다.

충분한 수의 측정 데이터를 얻은 후 Allan 분산을 사용하여 다른 평균 시간의 안정성을 계산할 수 있습니다. 그러나 이상이 발생하면 Allan 분산에 의해 주어진 결과가 실질적인 의미를 잃을 수 있습니다. 그림 6(a)와 같이 클럭 신호의 주파수가 급상승했다가 잠시 후 다시 돌아왔다. 그림 6(b)와 같이 (12)에 의해 계산된 결과에 따르면 노이즈 분포에 대한 올바른 판단을 얻을 수 없습니다. 게다가, 우리는 변칙 유형을 모르고 탐지 지연도 너무 길다.

2.2.2. DAVAR(다이나믹 앨런 분산).그림 6 (a)에서 볼 수 있듯이 주요 소음 유형은 변경되지 않지만 그림 6 (b)는 잘못된 판단을 내립니다. 따라서 결론은 실제 상황과 일치하지 않으며 주파수 점프의 신호도 찾을 수 없습니다. 따라서 전통적인 Allan 분산은 이러한 이상에 대해 믿을 수있는 정보를 제공 할 수 없습니다. 이를 고려하여 Galleani와 Tavella는 DAVAR을 제시했는데, 이는 (15)로 표현할 수 있으며 실시간으로 시계 성능을 평가하는 데 사용할 수 있습니다.

[ASCII로 재현 할 수없는 수학 식] (15)

DAVAR을 계산할 때 데이터를 자르기 위해 슬라이딩 윈도우가 사용됩니다. 윈도우 길이는 N이고, 새로운 측정 데이터 [y.sub.n]이 오면 [[sigma] .sup.2.sub.y] (n, k)가 업데이트되어 시계의 건강 상태를 알려줍니다. 실시간. [τ0]는 최소 측정주기이고, k [τ] 0]은 평균화 시간입니다.

2.2.3. 수정 된 DAVAR. 식 (15)에서 DAVAR은 실시간으로 업데이트 할 수 있지만 장기적인 안정성을 보장하기 위해서는 N이 충분히 커야 순시 이상 탐지 확률이 크게 감소합니다. 주파수 점프가 발생하면. [y.sub.i-1]-[y.sub.i-2] [대략 같음] 0, [y.sub.i]-[y.sub.i-1] = [델타], [y i + 1]-[y.sub.i] [대략 같음] 0,. 단 하나의 요소 만 0이 아니며 DAVAR은 약한 주파수 점프에 충분히 민감하지 않습니다. 이 백서에서는 작은 주파수 점프에 대한 감지 감도를 개선하기 위해 Dynamic Allan Variance를 수정합니다.

[ASCII로 재현 할 수없는 수학 식] (16)

[ASCII로 재현 할 수없는 수학 식] (17)

식 (16)은 수정 된 DAVAR이고 (17)은 반복 계산 방법입니다.

2.2.4. 수정 된 DAVAR의 탐지 성능. 이 섹션에서는 먼저 위상 및 주파수 점프에 직면했을 때 DAVAR 및 Modified DAVAR의 탐지 성능을 분석하고 비교 한 다음 Modified DAVAR이 순간적인 안정성 저하 탐지에도 효과적임을 보여줍니다.

위상 및 주파수 점프 모니터링 방법은 통계를 기반으로합니다. 여기서는도 1의 [DELTA] [t.sub.12], [DELTA] [t.sub.13] 및 [DELTA] [t.sub.23]을 사용합니다. 세 시계 중 하나만 고장 났다고 가정합니다. 클럭 1에서 위상 또는 주파수 점프가 발생하면 [DELTA] [t.sub.12], [DELTA] [t.sub.13]은 비정상이고 [DELTA] [t.sub.23]은 여전히 ​​정상입니다. [DELTA] [t.sub.12]의 이상은 [DELTA] [t.sub.13]의 이상과 동일하므로 [DELTA] [t.sub.12] 만 분석하면됩니다.

그림 7 (a)에서 위상 점프의 진폭은 상대 주파수 편차 데이터 [y.sub.i]의 표준 편차의 12 배입니다. 그림 7 (b)에서 주파수 점프는 [y.sub.i] 표준 편차의 4 배입니다.

1000 개의 샘플링 포인트를 시뮬레이션했으며 500 번째 포인트에서 위상 및 주파수 점프가 발생했습니다. 하나의 실현을 시뮬레이션하고 DAVAR 및 Modified DAVAR의 응답 데이터를 매 순간 점프에 저장 한 다음 동일한 방식으로 10000 개의 실현을 반복했습니다. 물론 1000 개의 샘플링 포인트의 데이터는 모든 실현에서 다릅니다. 그런 다음 그림 8과 9에 표시된 매 순간 평균 응답을 얻었습니다.

점프에 대한 DAVAR 및 Modified DAVAR의 응답의 피크 값이 점프를 감지 할 수 있는지 여부를 결정하므로 각 실현의 피크 값에 초점을 맞 춥니 다. 하나의 실현에서 주파수 점프에 대한 DAVAR의 응답의 최대 값이 [[sigma] .sup.2.sub.i, m]이라고 가정하고, 주파수 점프에 대한 Modified DAVAR의 응답의 최대 값은 [v.sup .2.sub.i, m] 그리고 [[sigma] .sup.2.sub.i, m]과 [v.sup.2.sub.i, m] (i = 1, 2, 3,. 10000). 저장된 데이터를 조사하여 [[sigma] .sup.2.sub.i, m]과 [v.sup.2.sub.i, m]의 최소값, 최대 값, 평균값, 표준 편차를 구했습니다. (i = 1, 2,3,. 10000) 그림 8과 9에서.

통계 결과를보다 명확하게하기 위해 [[sigma] .sup.2.sub.i, m] 및 [v.sup.2.sub.i, m] (i = 1, 2, 표 5의 주파수 점프에서 3,. 10000) 표 5 및 그림 9에서 [[sigma] .sup.2.sub.i, m]이 기본 잡음과 구별 될만큼 충분히 크지 않음을 알고 있으며 수정 됨 DAVAR은 약한 주파수 점프에 더 민감합니다.

표 6과 7에는 위상 및 주파수 점프에 대한 두 가지 분산의 탐지 성능이 나와 있습니다. 표 8과 9는 다양한 클럭 안정성에 대한 감지 성능을 보여줍니다.

주의해야 할 점은 표 6-9에서 위상 및 주파수 점프의 분해능 단위가 상대 주파수 편차 데이터 [y.sub.i], 즉 [[sigma] .sub.y]의 표준 편차라는 것입니다. . 감지 지연은 감지 할 이상 발생에서 샘플링 포인트의 수입니다.

시뮬레이션 중에 10000 개의 실현을 시뮬레이션하고 DAVAR 및 수정 된 DAVAR 모두에 대해 동일한 임계 값을 사용합니다. 윈도우 길이 N = 10, k [τ] .sub.0] = [[tau] .sub.0] = 1s. k [[tau] .sub.0] = [[tau] .sub.0] = 1 s이기 때문에 시뮬레이션에서 WFM 만 고려하기 위해 근사를 수행하는 것이 충분히 정확하다는 점에 유의해야합니다. 실제로 Modified DAVAR은 다른 노이즈 유형이있을 때 위상 및 주파수 점프를 감지하는 데 여전히 효과적입니다.

표 6은 Modified DAVAR의 PD가 DAVAR만큼 좋고 PFA가 낮다는 것을 보여줍니다. 표 7에서 Modified DAVAR이 약한 주파수 점프에 더 민감하지만 감지 지연이 더 깁니다.

표 8과 9에서 위상 및 주파수 점프에 대한 Modified DAVAR의 분해능이 다른 클럭에 대해 동일하다는 것을 알 수 있습니다. 우리가해야 할 일은 식 (18)에 따라 임계 값을 재설정하는 것입니다.

또한 창 길이 N은 수정 된 DAVAR의 중요한 매개 변수입니다. 창이 길수록 탐지 성능이 약해집니다. 그러나 창 길이가 너무 짧으면 PFA가 상승하고 감지 해상도도 저하됩니다.

그림 10은 Modified DAVAR이 즉각적인 악화를 효과적으로 모니터링 할 수 있음을 보여줍니다.

수정 된 DAVAR은 위상 및 주파수 점프를 감지하는 데 효과적인 통계 도구로 간주 될 수 있습니다. PLL 방식과 비교하여 먼저 시간 오류 데이터를 측정 한 다음 시계의 통계적 특성을 계산해야합니다. 수정 된 DAVAR은 PLL 방법에 비해 약한 주파수 점프를 모니터링 할 수 있지만 PLL 방법은 두 번째 표준 참조 및 시간 비교 장치와 독립적이므로 더 많은 유연성을 제공합니다. 각각의 특성을 고려할 때 자체 모니터링 신뢰성을 향상시키기 위해 이들 간의 협력이 좋은 선택이 될 수 있습니다.

2.2.5. 주파수 점프 감지에 대한 LS 방법 및 칼만 방법. 이 섹션에서는 LS 방법과 칼만 필터 방법이라는 두 가지 기존 방법을 소개합니다.

LS 방법. LS 알고리즘을 사용하여 M 개의 최근 저장된 샘플링 포인트로 평균 주파수 편차 [bar.y]를 계산 한 다음 시간 오류 [MATHEMATICAL EXPRESSION NOT REPRODUCIBLE IN ASCII]를 예측할 수 있습니다. 실제 측정 값과 비교 한 후 [ASCII에서 재현 할 수없는 수학적 표현] 차이가 임계 값 y를 초과하면 주파수 점프가 발생한다고 생각합니다.

칼만 필터 방법. Kalman 필터를 사용하여 클럭의 다음 상태 [[??]. sub.n]을 예측 한 다음이를 실제 측정 [y.sub.n]과 비교할 수 있습니다. 차이 [epsilon] = [[??]. sub.n]-[y.sub.n]이 설정 가능한 임계 값보다 크면 이상이 발생한다고 생각합니다.

시뮬레이션. 샘플링 간격 [tau] = 1s이므로 표준 편차가 [[sigma] .sub.0] = 3E-12 인 WFM 잡음 만 고려합니다. LS 방법에 대한 시뮬레이션 동안 M = 20을 선택합니다. 칼만 필터 방법의 경우 상태 전이 행렬 [PHI] = 1, 관측 행렬 H = 1, 시스템 오류 공분산 행렬 Q = [(1.0 x [10.sup.-13]). sup.2] 및 관측 오류 공분산 행렬 R = [(3.0 x [10.sup.-12]). sup.2].

그림 11과 12는 두 가지 방법의 주파수 점프 감지를 보여줍니다.

수치 시뮬레이션을 마친 후 표 10에 PLL 방법, DAVAR 방법, Modified DAVAR 방법이 포함 된 방법의 탐지 성능을 보여줍니다.

토론. 먼저 감지 성능이 매개 변수에 따라 달라진다는 점에 유의해야합니다. 동일한 노이즈 레벨을 사용하여 다른 방법을 테스트하여 표 10을 제공하며, 이는 다른 방법의 다른 특성을 보여주는 참조가 될 수 있습니다.

방법에 따라 관찰 량이 달라집니다. DAVAR, Modified DAVAR, LS 및 Kalman 필터는 모두 약한 주파수 점프를 감지하는 데 효과적입니다. 알고리즘을 실행하기위한 관찰 수량으로 사용할 시간 오류 측정 [DELTA] [t.sub.k]을 얻으려면 두 번째 표준 참조 및 시간 비교 장치가 필요합니다. PLL 방식은 표준 소스없이 주파수 점프를위한 Self-Monitoring을 구현할 수있어 더 많은 유연성을 제공 할 수 있으며 BeiDou 위성에서 사용되었습니다. 계산 복잡성도 그들 사이에서 다릅니다. LS 방법, 칼만 필터 방법, PLL 방법은 계산량이 적어야합니다. Modified DAVAR의 분해능은 가장 좋지만 지연 시간이 더 길지만 PLL 방법은 지연 시간이 가장 짧지 만 분해능이 최악입니다. 때로는 해결과 지연 사이에서 타협해야 할 수도 있습니다.

2.2.6. 위성 시계의 안정성 평가. 이 섹션에서 우리는 원자 시계의 안정성을 평가하기 위해 잘 알려진 "삼각 모자"접근법 [17-19]을 사용합니다.

참고 문헌에 따르면 [[sigma] .sup.2.sub.1] ([tau]), [[sigma] .sup.2.sub.2] ([tau]) 및 [[sigma]를 얻을 수 있습니다. ] .sup.2.sub.3] ([tau]) from [DELTA] [t.sub.12], [DELTA] [t.sub.13] 및 [DELTA] [t.sub.23] in 그림 1. 예를 들어, [[sigma] .sup.2.sub.1] ([tau])는 다음과 같이 표현할 수 있습니다.

[[시그마] .sup.2.sub.1] ([tau]) = 1/2 [[[시그마] .sup.2.sub.12] ([tau]) + [[시그마] .sup.2 13] ([tau])-[[sigma] .sup.2.sub.23] ([tau])]. (19)

Allan 분산은 서로 다른 평균 시간에서 5 가지 종류의 잡음에 대해 수렴하기 때문에 클록의 안정성을 평가하는 데 자주 사용됩니다. 그러나 Allan 분산은 주파수 드리프트를 배제 할 수 없습니다. 특히 특정 평균 시간 동안 드리프트가 Allan 분산과 거의 같을 때 Allan 분산을 사용하여 [[sigma] .sup.2.sub.12] ([tau]), [[sigma] .sup.2를 계산합니다. sub.13] ([tau]), [[sigma] .sup.2.sub.23] ([tau])를 계산 한 다음 [[sigma] .sup.2.sub.1] ([tau])를 계산합니다. , [[sigma] .sup.2.sub.2] ([tau]), [[sigma] .sup.2.sub.3] ([tau]), 결과는 원자 시계의 실제 상황을 반영 할 수 없습니다. . 주파수 드리프트의 영향을 피하기 위해 주파수 데이터에 대한 2 차 차이 또는 위상 데이터에 대한 3 차 차이가 필요하며 이는 Hadamard 분산의 정의에 불과합니다.

측정 데이터를 최대한 활용하고 위성 시계의 느린 변화를 적시에 추적하기 위해 추가 겹치는 차이가 모두 통계적으로 독립적 인 것은 아니지만 (20)에 표시된 것처럼 창 겹치는 Hadamard 분산을 사용합니다. 그럼에도 불구하고 숫자를 증가시킵니다. 자유도를 높여 추정의 신뢰도를 높입니다. 또한 최신 데이터를 사용하여 분산은 원자 시계의 상태를 실시간으로 평가할 수 있습니다.

[ASCII로 재현 할 수없는 수학 식] (20)

여기서 N은 윈도우의 길이, 즉 각 업데이트에 사용되는 데이터의 양이고 b [[tau] .sub.0]은 [x.sub.i]와 [x.sub.i] 사이의 시간 간격입니다. +1], 샘플링 기간으로 정의됩니다. [τ] .sub.0]은 측정 기간이고, 평균 시간 [tau] = m [τ] .sub.0], k = m / fc입니다. 우리는 Hadamard 분산의 특성에서 평균화 시간이 길수록 필요한 데이터 양이 더 많다는 것을 알고 있습니다.

식 (21)은 H [[sigma] .sup.2.sub.y] (m)의 업데이트에서 계산 복잡성을 줄이기 위해 재귀 알고리즘으로 사용될 수 있습니다. 또한 6 (N-3m) [τ] .sup.2]는 각 평균 시분할 연산에 대한 상수이며 필요한 경우에만 수행 할 수 있습니다.

[ASCII로 재현 할 수없는 수학 식] (21)

여기서 [[Δ] .sub.1] (n) = [([x.sub.n]-3 [x.sub.nm] + 3 [x.sub.n-2m]-[x.sub.n -3m]). sup.2] 및 [[DELTA] .sub.2] (n) = [([x.sub.n-N + 3m]-3 [x.sub.n-N + 2m] + 3 [x.sub.n-N + m]-[x.sub.nN]). sup.2].

두 번째 차이를 사용하는 Allan 분산과 달리 Hadamard 분산은 자유도를 1만큼 감소시키는 세 번째 차이를 사용합니다. Hadamard 분산은 동일한 평균 시간 [tau]이 주어 졌을 때 Allan 분산에 비해 단일 안정성 계산을 생성하는 데 더 많은 데이터가 필요합니다. 따라서 평균 시간마다 다른 통계 도구를 사용하는 것이 더 나은 선택이 될 것입니다. 평균화 시간이 짧으면 ADEV 3 코너 햇 방법을 사용하는 것이 훨씬 더 편리하지만 선형 주파수 드리프트가 지배적 일 때는 HDEV가 더 나은 선택이 될 것입니다.

2.2.7. 클록의 주파수 드리프트 율 이상 탐지. [20-24]에 따르면, 몇 가지 드리프트 율 추정기가 논의되고 비교됩니다. 먼저 다음과 같은 시뮬레이션을 통해 6 가지 다른 추정치를 비교합니다.

(a) 두 점 : [[??]. sub.1] = (y (n)-y (l)) / (n-1) [τ] .sub.0].

(b) 두 그룹의 포인트 : [[??]. sub.2] = (2 / n [tau]) [(2 / n) [[summation] .sup.n.sub.i = n / 2 + 1] y (i) z-(2 / n) [[summation] .sup.n / 2.sub.i = 1] y (i)].

(c) LS : [[??]. sub.3] = (6 / n ([n.sup.2]-1) [[tau] .sub.0]) [[summation] .sup.n. sub.i = 1] (2i-n-1) y (i).

(d) 3 점 : [z.sub.4] = (x (2n + 1) -2x (1 + n) + x (1)) / [(n [[tau] .sub.0]). sup .2].

(e) [ASCII로 재현 할 수없는 수학적 표현].

(f) 칼만 필터 : [X.sub.k] = [PHI] [X.sub.k-1] + [[epsilon] .sub.k], [Z.sub.k] = H [X.sub .k] + [v.sub.k],

여기서 [Xk] = [[xk], [y.k], [z.k]]는 위상 데이터, 주파수 편차 및 드리프트 속도이고, 관측 행렬 H = [l, 0, 0]. 상태 전이 매트릭스는 다음과 같습니다.

[ASCII로 재현 할 수없는 수학 식] (22)

상태 오류 공분산 행렬 Q는 [25]와 같이 표현할 수 있습니다.

이 6 개의 추정치를 비교하기 위해 잘 알려진 Stable 32 소프트웨어로 시뮬레이션 데이터를 생성합니다. 위상 데이터의 매개 변수는 표 11에 나와 있으며 WFM, FFM 및 RWFM의 세 가지 노이즈 유형을 고려합니다.

표 12와 그림 13, 14에서 [ω] .sub.4] 방법과 칼만 필터가 드리프트 율 추정에 좋은 선택이되어야한다는 것을 알고 있습니다. 시뮬레이션 결과가 신뢰할 수 있는지 확인하기 위해 다른 시뮬레이션 데이터를 사용하여 6 개의 추정기의 성능을 테스트하고 결과는 비슷합니다.

사실, 드리프트 율을 평가하기 위해 어떤 방법을 선택하든 우리는이 섹션의 [DELTA] t에 해당하는 시간 오류 데이터 [x.sub.k]를 알아야합니다.

위성이 지상국의 시야 내에 있으면 위성 시간과 지상의 시간 척도를 비교하여 특정 추정기로 드리프트 율을 계산할 수 있습니다. 그러나 위성이 스테이션과 접촉 할 수없는 경우 사용 가능한 유일한 데이터는 상호 비교 데이터 [DELTA] [t.sub.12], [DELTA] [t.sub.13] 및 [DELTA] [t.sub.23 ].

드리프트 율을 평가하기 위해 두 가지 방법이 있습니다. (1) 3 상태 칼만 필터를 사용하여 관찰 량 [DELTA] [t.sub.12], [DELTA] [t.sub.13] 및 [DELTA] [t.sub로 직접 드리프트 율을 평가할 수 있습니다. .23], 이는 지상의 칼만 타임 스케일 알고리즘과 유사합니다. (2) 두 단계가 필요합니다. 첫 번째 단계는 [DELTA] [t.sub.12]에서 [DELTA] [t.sub.1], [DELTA] [t.sub.2], [DELTA] [t.sub.3]를 예측하는 것입니다. , [DELTA] [t.sub.13] 및 [DELTA] [t.sub.23]. 두 번째 단계는 [DELTA] [t.sub.1], [DELTA] [t.sub.2] 및 [DELTA] [의 예측 값인 [MATHEMATICAL EXPRESSION NOT REPRODUCIBLE IN ASCII]를 사용하여 드리프트 속도를 평가하는 것입니다. t.sub.3]).

다음에서는이 두 가지 방법을 비교합니다. 3 상태 칼만 필터 방식을 방법 1이라고하고, 2 상태 칼만 필터와 [[ω] .sub.4]의 조합을 방법 2라고합니다.

기본적인 칼만 피터 방정식은 다음과 같습니다.

[X.sub.k] = [PHI] [X.sub.k-1] + [[엡실론] .sub.k]. (23)

2- 상태 칼만 필터의 경우

[ASCII로 재현 할 수없는 수학 식] (25)

시스템 오차 공분산 행렬 Q는 [26-28]과 같이 표현할 수 있습니다.

3 개 상태 칼만 필터의 경우

[ASCII로 재현 할 수없는 수학 식] (26)

[29]에 따라 시스템 오류 공분산 행렬 Q를 얻을 수 있습니다.

이 두 가지 방법을 비교하기 위해 Stable 32를 사용하여 시뮬레이션 데이터를 생성합니다. 위상 데이터의 매개 변수는 표 13에 나와 있습니다.

먼저, [DELTA] [t.sub.1], [DELTA] [t.sub.2] 및 [DELTA] [t.sub에 대한 2- 상태 및 3- 상태 칼만 필터의 예측 성능을 보여줍니다. .3] 그것들은 유사하며 그림 15에서 볼 수 있습니다.

방법 2의 경우 [DELTA] [t.sub.1], [DELTA] [t.sub.2] 및 [DELTA] [t.sub.3]의 예측을 얻은 후 [[ omega] .sub.4]를 사용하여 드리프트 속도를 평가합니다.

그림 15 (a)는 클럭 차이 [DELTA] [t.12] ([DELTA] [t.sub.12] = [DELTA] [t.sub.1]-[DELTA] [t .sub.2]) 및 그 예측 [??] [t.sub.12]. 그림 15 (b)는 실시간 오류 [DELTA] [t.sub.1]과 [DELTA] [[??]. sub.1]을 비교합니다. 그림 15에서 예측 오차 [epsilon] ([epsilon] = [DELTA] [t.sub.1]-[DELTA] [[??]. sub.1])가 점차 증가하는 반면 [DELTA ] [[??]. sub.12]는 편향되지 않습니다. 실제로 이러한 현상은 절대 표준 참조가 없기 때문에 불가피합니다. 우리가 어떤 방법을 선택하든 시간이 지남에 따라 예측 오류가 증가합니다. 그것은 또한 우리가 정확한 드리프트 율을 얻을 수 없다는 것을 의미하지만 우리가 아무것도 할 수 없다는 것을 의미하지는 않습니다. 다음으로 방법 1이 한 클록의 드리프트 속도가 최상의 클록보다 훨씬 클 때 알람을 제공 할 수 있음을 증명할 것입니다. 방법 2의 드리프트 레이트를 평가하기 위해 [ω4] 방법을 사용할 때, 드리프트 레이트를 일괄 처리하는 대신 실시간으로 평가하기 위해 슬라이딩 윈도우가 사용된다는 점에 유의해야합니다.

그림 16과 17은 세 클럭에 대해이 두 가지 방법의 드리프트 레이트 추정을 보여줍니다.시뮬레이션 결과에서 우리는 한 클럭의 드리프트 레이트가 최상의 클럭보다 훨씬 크면 드리프트 레이트 추정이 실제 값에 매우 가깝고 계산 된 추정이 최상의 클럭보다 훨씬 큽니다. 방법 1 알람을 ​​제공합니다. 또한 방법 1은 방법 2에 비해 더 정확하고 안정적인 계산 결과를 제공합니다.

이 백서에서는 일반적인 이상 현상에 대한 일련의자가 모니터링 방법을 제시합니다. PLL을 사용하여 신호 손실 및 위상 및 주파수 점프에 대한 자체 모니터링을 실현합니다. 세 클럭 간의 상호 비교에서 얻은 측정 데이터를 기반으로 Modified DAVAR은 위상 및 주파수 점프와 순간적인 열화를 감지하는 데 사용됩니다. 우리는 실시간으로 클럭 안정성을 평가하기 위해 윈도우 중첩 Hadamard 분산을 사용하고 큰 드리프트 속도 이상을 위해 3 개 상태 Kalman 필터를 사용합니다. .

PLL 기반의 방법은 효과가 입증되었으며 최신 BeiDou 위성에서 사용되었습니다. 그리고이 백서의자가 모니터링 방법에 대한 다른 연구는 2019 년 이후 차세대 항법 위성에 사용될 수 있습니다.

저자는 경쟁 이익이 없음을 선언합니다.

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Lei Feng(1,2) 및 Guotong Li(2,3)

(1) Shanghai Institute of Microsystem and Information Technology, Chinese Academy of Sciences, Shanghai 200050, China

(2) 상하이 마이크로 위성 엔지니어링 센터, 상하이 201203, 중국

(3) Shanghai Tech University, Shanghai 201203, 중국

서신은 Lei Feng [email protected]으로 보내야 합니다.

2016 년 2 월 25 일 접수 2016 년 6 월 14 일 개정 2016 년 6 월 29 일 접수

학술 편집자: Paolo Tortora

캡션 : 그림 1 : 자체 모니터링 방법의 글로벌 개략도.

캡션: 그림 2: PLL 기반 자가 모니터링 방법의 개략도.

캡션: 그림 3: 시뮬레이션 중 위상 점프에 대한 위상 감지기의 응답.

캡션: 그림 4: 시뮬레이션 중 주파수 점프에 대한 위상 검출기의 응답.

캡션 : 그림 5 : 시뮬레이션 중 신호 손실에 대한 위상 감지기의 응답.

캡션 : 그림 6 : 이상이 발생할 때 상대 주파수 편차 및 앨런 편차.


참고 문헌

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바람직한 구체 예의 설명

이제 그림을 참조하십시오. 1, 내비게이션 시스템이 도시되어 있다 10 위성의 위치 데이터 계산 용 12 또는 신호를 기반으로 한 다른 이동식 수신 플랫폼 14 천체에 의해 생성 16. 그림에 표시되어 있지만. 1 펄서, 천체 16 천체 또는 펄스 전자기 신호의 소스가 될 수 있습니다.

II. 펄스 천체 소스

GPS(Global Positioning System)와 같은 지구 기반 항법 시스템은 지구상에서 신체의 시간, 위도, 경도, 고도 및 자세를 포함한 항법 데이터를 제공하지만, 이러한 시스템은 상대적으로 이동 및 작동하는 차량에 대한 작동 범위가 제한적입니다. 행성 지구에서 멀리. 시스템 10그러나 펄서와 같은 천체 소스를 사용하여 안정적이고 예측 가능하며 고유 한 신호 신호를 제공하여 행성 지구의 영향을 벗어나 작동하고 탐색합니다.

펄서는 처음에 Hewish 등에 의해 발견되었습니다. 1968 년에 약 100MHz의 무선 주파수 범위에서 행성 간 플라즈마로 인한 섬광 현상에 대한 하늘 조사 중. 예상되는 랜덤 노이즈 중 약 1 초의주기를 갖는 규칙적인 간격으로 시간이 지정된 신호가 나타납니다. 이 기간은 곧 6자리 또는 7자리의 정확도로 설정되어 태양계 외부에서 가장 잘 결정된 천문상수 중 하나가 되었습니다. 펄서의 정확한 성질은 아직 알려져 있지 않지만 펄서는 회전하는 중성자별이라는 이론이 있습니다.

중성자별은 핵연료를 다 써버리고 초신성 폭발을 겪은 거대한 별의 잔해입니다. 코어의 나머지 질량이 태양 질량의 1.4 배에서 3 배 사이 일 때, 자체 중력에 의해 스스로 붕괴되고 작고 매우 조밀 한 물체가 형성됩니다. 이 물체는 블랙홀이되는 데 필요한 질량이 부족하며 주로 중성자로 형성된 항성 물체로 남아 있습니다. 중성자 별은 지름이 18 ~ 30km 인 것으로 추정됩니다. 외부 지각으로 형성된 중성자 별은 중성자 초유체를 포함하고 있다는 이론이 있습니다. 각운동량의 보존으로 인해 이러한 물체가 붕괴됨에 따라 더 빠른 속도로 회전하기 시작합니다. 젊은 중성자 별은 일반적으로 수십 밀리 초 정도의 주기로 회전하는 반면, 오래된 중성자 별은 결국 몇 초 정도의 주기로 느려지 게됩니다. 이 회전의 독특한 측면은 매우 안정적이고 예측 가능하다는 것입니다. 예측된 회전 속도의 편차는 10 14 의 한 부분만큼 낮을 수 있으며, 이는 원자 시계에서 발견되는 정확도와 비슷합니다.

중성자 별은 추가로 엄청난 자기장을 생성합니다. 이러한 강한 장의 영향으로 하전 된 입자는 필드 라인을 따라 매우 높은 에너지로 가속됩니다. 이 하전 입자가 펄서의 강한 자기장에서 움직일 때 강력한 전자기파 빔이 별의 자극에서 방출됩니다. 중성자 별의 스핀 축이 자기장 축과 정렬되지 않으면, 관찰자는 자극이 관찰자의 시선을 가로 질러 펄서까지 스윕 할 때 고 에너지 광자의 "펄스"를 감지합니다. 이 중성자 별과 각각의 펄스가 우리가 펄서로 알고 있는 것을 형성한다는 이론이 있습니다. 두 개의 중성자별이 정확히 같은 방식으로 형성되지 않기 때문에 펄스 주파수와 모양은 각 펄서에 대해 고유한 식별 신호를 생성합니다. 고유 한 펄스로 인해 펄서는 은하계 규모에서 자연 신호 또는 "천상의 등대"역할을 할 수 있으므로 시스템과 같은 탐색 보조 장치로 사용할 수 있습니다. 10 도. 1.

많은 X선 펄서는 별 자체의 저장된 회전 운동 에너지가 에너지원인 격리된 중성자 별인 "회전 동력" 펄서입니다. 이러한 회전 동력 펄서 외에도 두 가지 다른 유형의 펄서가 존재합니다 : "가속 동력"펄서와 "변칙적 펄서". Accretion-powered pulsars는 물질이 동 반성에서 중성자별로 전달되는 이원계의 중성자 별입니다. 이 물질의 흐름은 중성자 별의 자기장에 의해 별의 극으로 전달되어 별의 표면에 핫 스팟을 만듭니다. 펄스는 중성자별이 회전함에 따라 이러한 핫스팟의 시야각이 변한 결과입니다. 이 강성 펄서는 종종 높은 질량(일반적으로 10-30 태양 질량) 또는 낮은 질량(일반적으로 1 태양 질량 미만) 동반자를 가진 펄사로 세분화됩니다. 비정상적인 X 선 펄서는 거대한 자기장 (약 10 14 -10 15 가우스)의 붕괴에 의해 동력을 얻습니다.

펄서와 같은 펄서 외에 16 도 1에 도시된 1, 다른 가변 펄스 천체가 존재하며 우주선 탐색에 사용할 수 있습니다. 이러한 물체의 대부분은 강도가 매우 다양하며 종종 X선 방출을 위해 다른 에너지원을 사용합니다. 이러한 소스에는 활성 은하핵, 알골형 별, 환초 소스, 쌍성 변광성, 블랙홀 후보, 파열, 코로나 소스, 대격변 변수, 은하단, 은하 융기 방출, 구상 성단, 연성 감마 중계기, 초신성 잔해, 백색 왜성이 포함됩니다. , 및 Z 소스. 이러한 대체 X- 선 소스는 탐색에 사용하기에 바람직한 특성을 가지고 있지만 일부는 감지 할 수있는 주기적 또는 가변적 인 맥동이없고 다른 일부는 신호 처리 및 도착 시간 결정에 추가적인 복잡성을 도입합니다. 펄서는 복잡성이 감소하여 탐색 비콘 소스로 선호되는 반면 예측 가능한 가변 패턴을 생성하는 모든 소스는 우주선 탐색 체계에 구현될 수 있습니다.

거의 모든 회전 동력 펄서는 강도가 일정하지만, 강착 펄서와 대부분의 다른 X선 소스 클래스는 종종 정확한 시간 및 위치 결정에 대한 유용성을 제한하는 강도에서 매우 비주기적인 변동성을 나타냅니다. 또한, 많은 것이 듀티 사이클의 넓은 범위를 갖는 비정상 또는 "과도" 소스입니다. 짧은 기간 동안 지속되는 고강도 신호인 상당한 크기의 X선 플레어가 있는 소스도 가끔 감지됩니다. 중성자 별은 단단한 지각과 초 유체 내부를 포함하고 있기 때문에 두 물질 사이의 각운동량 교환은 예측할 수없는 "별-진동"또는 "글리치"를 유발할 수 있으며, 이는 별의 회전 속도를 크게 변화시킬 수 있습니다. 펄서를 활용하는 항법 시스템은 이러한 소스의 일시적, 플레어링 및 글리치 측면을 해결해야 합니다. 또한 모든 관측에서 확산 X 선 배경이 존재하므로 펄스 X 선 천체 소스를 사용하는 내비게이션 시스템은 데이터 처리에서 이러한 배경 소음의 존재를 해결해야합니다.

많은 펄서가 무선, 광학, X 선 및 감마선 파장에서 방사하지만 모든 펄서가이 기능을 가지고있는 것은 아닙니다. X 선과 감마선은 지구 대기에 의해 이러한 파장을 흡수하기 때문에 지상에서 감지하기 어렵 기 때문에이 대역 내에서 감지하려면 대기 위에서 관찰해야합니다. 이는 X선 소스의 감지 및 매개변수 검증을 복잡하게 만듭니다. 또한 많은 X-ray 소스가 희미하고 감지하려면 민감한 기기가 필요합니다.

GPS와 같은 인간이 만든 시스템과 달리 X 선 소스까지의 거리는 거리 측정 메커니즘으로 활용 될 수있는 정확도로 알려져 있지 않습니다. 그러나 X선 소스의 은하 위도와 경도는 고정밀도로 결정할 수 있습니다. 대부분의 출처는 은하계에 있지만 여전히 우리 태양계와는 거리가 멀습니다. 또한 우리은하 평면 내에 많은 광원이 위치하기 때문에 위치 결정을 위해 축에서 벗어난 삼각 측량을 제공할 수 있는 밝은 광원의 수가 제한되어 있습니다.

III. X선 소스 관찰

1970 년대 후반에 HEAO 임무는 0.2-10 keV 범위 내에서 842 개의 X 선 소스를 감지했습니다. 독일 X- 선 관측소 ROSAT는 2000 년에 X- 선 하늘에 대한 최신 포괄적 인 천체 조사를 완료했습니다.이 임무는 18,806 개의 밝은 광원 (0.1-2.4 keV 범위에서 초당 0.05 X- 선 광자 수를 초과 함)을 감지했습니다. ), 희미한 전 천공 X 선 조사에서 상당한 수의 소스 (105,924 개 물체)를 감지했습니다.

Australia Telescope National Facility는 최근 Parkes Multibeam Pulsar Survey에서 현재까지 가장 포괄적 인 전파 펄서 연구를 완료했습니다. 이 조사는 알려진 전파 펄서의 수를 558개에서 1,400개 이상으로 늘렸습니다.새로 감지 된 이러한 무선 펄서는 대부분 X- 선 대역에서 방출 될 가능성이 높으며, 이는 잠재적 인 펄서 탐색 소스의 수를 증가시킵니다. 다양한 카탈로그와 출판 된 작품을 비교함으로써 천체의 출처를 탐색 시스템에서 잠재적으로 사용할 수 있는지 조사 할 수 있습니다.

X 선 소스는 하늘 전체에 존재합니다. 우리 은하에서 X 선 물체까지의 거리는 몇 파섹에서 수천 파섹까지 다양합니다 (1 파섹 = 3.262 광년 = 3.086 × 10 16m). 대부분의 회전 동력 펄서는 은하 내에서 감지되고 나머지는 마젤란 구름에 있습니다. 이 물체의 자기장은 수천에서 1014 가우스까지 다양합니다 (비교해 보면 태양의 자기장은 수십 가우스 크기입니다). 펄스주기는 회전 구동 펄서의 경우 0.0016 ~ 0.53 초, 가속 구동 펄서의 경우 0.034 ~ 10,000 초입니다.

수십 년 동안 일부 펄서가 관찰 되었기 때문에 스핀 속도의 안정성이 오늘날의 원자 시계의 품질과 잘 비교되는 것으로 나타났습니다. 무화과. 2와 3은 3 차 Allan Variance에서 측정 된 원자 시계와 여러 펄서의 안정성에 대한 비교 플롯을 제공합니다. 도 2의 플롯에 대한 데이터. 2는 D.N. Matsakis, J.H. Taylor, T. Marshall Eubanks,“펄서 및 시계 안정성을 설명하는 통계”에서 가져 왔습니다. 천문학과 천체 물리학, Vol. 326, 1997, pg. 924-928. 도 2의 플롯에 대한 데이터. 3은 V. M. Kaspi, J. H. Taylor 및 M. F. Ryba,“밀리 초 펄서의 고정밀 타이밍. III. PSR B 1855 + 09 및 B1937 + 21의 장기 모니터링”, Astrophysical Journal, Vol. 428, 1994 년 6 월, pg. 713-728.

정확한 시계는 우주선 내비게이션 시스템의 기본 구성 요소입니다. 온보드 시계는 차량의 프로세스 타이머 및 다른 시간 시스템과의 비교에 대한 참조를 제공하며 통신과 같은 온보드 시스템에 중요합니다. 원자 시계는 높은 정확도의 참조를 제공하며 일반적으로 하루에 10 9 -10 15의 한 부분 내에서 좋습니다. 수십 분의 1 미터의 정확도로 무선 신호의 움직임을 추적하려면 몇 시간 동안 나노초 정확도의 시계가 필요합니다. 이를 위해서는 시계가 10 13의 한 부분 내에서 안정적이어야합니다. 무화과. 도 3은 여러 펄서가 안정성 요구 사항을 충족 함을 보여줍니다. 오래된 펄서, 특히 최대 밀리 초 단위로 회전하는 바이너리 시스템 (소위 "재활용 펄서")에서 오랜 기간의 부착을 거친 펄서는 매우 안정적이고 예측 가능한 회전 속도를 가지고 있습니다.

IV. 펄스 프로파일 및 도착 시간

소스 펄스 프로파일은 펄서의 특성에 따라 진폭, 지속 시간, 피크 수 및 안정성이 다양합니다. 이러한 고유성은 개별 소스를 식별하는 데 도움이 될 수 있습니다. 일반적으로 표준 프로필 템플릿은 긴 시간 동안 소스를 관찰하고 펄스주기에서 "폴딩"또는 동기 평균화를 통해 생성됩니다. 이 폴딩 프로세스는 신호 대 잡음비가 매우 높은 펄스 프로필을 생성하며이 표준 프로필을 사용하여주기 길이, 진폭 및 변동성과 같은 펄스의 특성을 결정할 수 있습니다.

무화과. 도 4는 X- 선 대역 (2-10 keV)에서 Crab Pulsar (PSR B0531 + 21)에 대한 표준 템플릿의 이미지를 예시합니다. 프로필의 강도는 평균 계수율에 대한 계수율의 비율입니다. 이 이미지는 더 낮은 진폭에서 하나의 주 펄스와 보조 펄스를 갖는 두주기의 펄스를 보여줍니다. 이 펄스의주기는 약 33.4 밀리 초 (Epoch 48743.0 MJD)이며 여러주기 파생물이 감지되었습니다. 무화과. 도 5는 PSRB1509-58의 펄스 프로파일 이미지를 보여준다. 약 150.23 밀리 초 (Epoch 48355.0 MJD)의 펄스 주기로이 펄서에 대해 두 개의 사이클도 표시됩니다.

펄서는 측정 된 펄스 도착 시간 (TOA)을 모델에 의해 예측 된 시간과 비교하여 시간이 지정됩니다. TOA 측정은 짧은 시간 동안 펄서를 관찰하고 접힌 프로파일을 생성하여 수행됩니다. 관찰 된 프로필은 몇 가지 요인에 의해 표준 프로필 템플릿 s (t)와 다릅니다. 일반적으로 관찰 된 펄스는 편향, b, 배율 계수, k 및 일부 임의 노이즈 η (t)에 따라 달라지며, X 선 관찰의 경우 일반적으로 포아송 계수 통계가 지배합니다. 관찰 된 펄스 p (t)와 표준 템플릿 사이의 관계는 다음과 같습니다.
()=b + k · s(t−τ) + η () (1)
여기서 τ는 측정 할 두 프로필 간의 시간 오프셋입니다. TOA 결정 프로세스는 관찰 된 프로파일과 표준 프로파일을 푸리에 변환하고 편향, 스케일 팩터 및 TOA를 계산하기 위해 피팅 값을 최소화하는 것으로 구성됩니다. TOA 결정 프로세스는 아래에서 더 자세히 설명됩니다. 또한 특정 내비게이션 시스템 애플리케이션에 대해 선택한 기준 시간에 따라 시계로 측정 된 시간 24 협정 세계시 (UTC) 또는 Temps Atomique International (TAI International Atomic Time)과 같은 지상파 표준시를 참조해야 할 수 있으며 이에 따라 필요한 시간 수정이 추가됩니다.
V. TOA 측정

펄서 기반 내비게이션 시스템의 기본적인 측정 가능한 양은 탐지기에서 펄스의 도착 시간 (TOA)입니다. 22 시계와 관련하여 24. 감지기 22 시계와 관련하여 각 개별 X 선 광자의 시간을 기록합니다. 24 1 마이크로 초 또는 그 이상 정도의 높은 정밀도로. n 번째 광자의 기록 된 시간을 t. 총 통합 시간 T 동안 많은 수의 광자 N이 시계로 측정 된 도착 시간을 갖게됩니다. 24 녹음했습니다. t에서 개별 광자 도착 시간0 ~ t 그런 다음 아래 섹션 VII에 설명 된대로 SSBC와 동일한 시간으로 변환되고 펄서에 대한 타이밍 모델에 기반한 펄서의 예측 된 펄스주기에서 "접힘"됩니다. 그런 다음 펄스 위상을 M 개의 동일한 빈으로 나누고 N 개의 광자 각각을 적절한 위상 빈에 드롭하여 비닝 된 펄스 프로파일을 구성합니다. 이러한 측정 된 프로파일은도 5에 예시되어있다. 10.

TOA는 해당 소스에 대한 높은 신호 대 잡음 표준 프로필 템플릿과 관련하여 측정 된 프로필의 위상 간 오프셋을 측정하여 결정됩니다. 이는 충분히 많은 수의 펄스를 평균화 한 후 동일한 에너지 범위에서 기록 된 펄스 프로파일이 시간에 따라 변하지 않는다는 가정을 기반으로합니다. 따라서 템플릿 프로필의 위상 0 점은 해당 소스에 대한 위상 0의 정의를 설정합니다. 템플릿은 위상 0으로 프로파일의 임의 지점과 정렬 할 수 있지만 일반적으로 두 가지 규칙이 사용됩니다. 메인 펄스의 피크를 위상 0으로 정렬하거나 프로파일을 정렬하여 푸리에 변환의 기본 구성 요소 위상이 0이되도록 할 수 있습니다. 후자의 방법이 선호됩니다 (단일 대칭 펄스 프로파일의 경우 전자로 축소됨). 더 정확하고 일반적으로 적용 가능하고 기본 푸리에 성분의 위상을 측정 한 다음 표준 템플릿을 쉽게 구성 할 수 있기 때문에 프로파일에 부분 위상 편이를 적용합니다.

빈 크기의 선택이 아니라 프로파일의 신호 대 잡음 비율에 의해 결정되는 정확도로 TOA를 결정하는 것이 중요합니다. 표준 상호 상관 분석은이를 쉽게 달성 할 수 없습니다. 그러나 J. H. Taylor,“Pulsar Timing and Relativistic Gravity”의 방법은 왕립 사회의 철학적 거래 (런던 A), Vol. 341, 1992, pp. 117-134는 빈 크기와 무관하며 내비게이션 시스템에 구현할 수 있습니다. 이 기술은 푸리에 변환 쌍의 시간 이동 속성을 사용합니다.

양 τ만큼 이동 된 함수의 푸리에 변환은 원래 함수에 e 2π∫τ의 위상 계수를 곱한 푸리에 변환입니다. 측정 된 프로파일은 Eq에서와 같이 시간 이동과 스케일 팩터와 랜덤 노이즈에 의해 템플릿과 다르기 때문입니다. (1), 프로파일과 템플릿을 푸리에 도메인으로 변환하는 것은 간단합니다. Eq. (1) 그런 다음 표준 최소 제곱 피팅 방법으로 쉽게 결정됩니다. 펄스의 최종 측정 된 TOA는 통합의 기록 된 시작 시간 t에 피팅 된 오프셋 τ를 추가하여 결정됩니다.0.

VI. 펄스 위상 타이밍 모델

펄스가 관측소에 도착할 것으로 예상되는시기를 예측하려면 펄서 위상 타이밍 모델을 개발해야합니다. 펄스의 정확한 도착 시간을 계산하려면 관성 프레임, 즉 펄서에 대해 가속되지 않은 프레임을 기준으로 측정해야합니다. 대부분의 관측은 일반적으로 지구에서 이루어 지거나 위성과 같이 지구를 돌아 다니는 우주선에서 이루어집니다. 12 그림에 표시됩니다. 1, 움직이는 프레임에서 수집 된이 데이터는 관성 프레임으로 전송되어야합니다. 일반 상대성 이론은이 데이터를 관성 프레임으로 전송하는 수단을 제공하며, 이러한 방정식은 광자가 곡선 시공간을 통해 역에 도착할 때 소스에서 방출되는 광자의 방출 시간과 관련됩니다.

매개 변수화 된 PPN (Post-Newtonian) 프레임은 정확한 펄스 타이밍을 위해 관성 프레임 및 기준 시간 중 하나의 옵션을 제공합니다. 여러 천문대에서는 PPN 프레임을 사용합니다. 또한 일반적인 상대 론적 방정식의 일부를 단순화하는 프레임이 존재합니다. 이 프레임, Temps Dynamique Baricentrique (TDB-Barycentric Dynamical Time)는 태양계 barycenter (SSBC)에서 시작됩니다. 이 원점은도 5에 도시 된 바와 같이 태양 표면 바로 밖에있다. 1, 태양계의 질량 중심입니다. 무화과. 1은 펄스의 관계를 보여줍니다. 14 펄서에서 관성 TDB 프레임과 우주선에 이르기까지 12 지구 궤도를 도는 20. 우주선의 위치 12 그리고 지구의 중심 20 SSBC와 관련하여 표시됩니다. 지구 기반 망원경이나 지구 궤도를 도는 우주선은 처음에는 관측을 참조하기 위해 지상 시간 표준을 사용할 수 있습니다. 그런 다음 아래에서 파생 된 변환을 사용하여 지상 시간에서 TDB 시간으로 변환 할 수 있습니다.

도착 펄스의 위상 φ는 ϕ ⁡ (t) = ϕ ⁡ (T 0) + ω ⁡ (t-T 0) + 1 2 ω로 주어진 펄서 위상 모델을 사용하여 SSBC에서 감지 할 수 있습니다. ⁡ (t-T 0) 2 + 1 6 ω ¨ ⁡ (t-T 0) 3 (2)
"펄서 스핀 방정식"또는 "펄서 스핀 다운 법칙"으로 알려져 있습니다. 여기서 t는 관찰 시간, T입니다.0 기준 신기원이고 ω, , 펄스 주파수와 그 파생물입니다. 이 방정식은 다음 관계식 ω = 1 P P = 1 ω ω를 사용하여주기 P (각속도 Ω = 2πω)를 사용하여 나타낼 수도 있습니다. =-P. P 2 P =-ω. ω 2 ω ¨ = 2 P 2 P 3-P ¨ P 2 P = 2 ω. 2 ω 3-ω ¨ ω 2 (3)
ϕ ⁡ (t) = ϕ ⁡ (T 0) + 1 P (t-T 0)-P. 2 P 2 (t-T 0) 2 + (P. 2 3 P 3-P ¨ 6 P 2) (t-T 0) 3 (4)
Eq. (4) 기준 에포크 T에 대한 미래 시간 t에서 펄스 신호의 위상을 결정할 수 있습니다.0. 따라서 시간 t에서 펄서 신호의 피크 진폭이 SSBC에 도달 할 것으로 예상되는시기를 예측할 수 있습니다. 그러나 SSBC에는 검출기가 존재하지 않기 때문에 Eq. (4) 실제 검출기 위치에서 펄서 펄스 도착을 예측하는 데 사용됩니다. 식에 표시된 모델. (4) 마침표와 처음 두 도함수를 사용하지만 특정 펄서의 타이밍 동작을 모델링하는 데 필요한 것에 따라 여러 도함수를 사용할 수 있습니다. 바이너리 시스템과 같은 일부 펄서에는 더 많은 매개 변수가 필요할 수 있습니다. 모델 예측의 정확도는 알려진 타이밍 모델 매개 변수의 품질과 펄서 회전의 고유 잡음에 따라 달라집니다.
VII. 참조 원점 오프셋 수정

펄서 신호를 적절하게 모델링하려면 신호 타이밍에 대해 관성 프레임을 선택해야하며 SSBC를 사용할 수 있습니다. 우주선과 같은 우주선의 내비게이션 시스템 12, 우주선 위치에서 펄서 신호를 감지하는 센서와 지상 시간 표준에 따라 이러한 신호의 시간을 측정하는 시계로 구성됩니다. 무화과. 6은 우주선을 나타낸다 12 도. 1 펄스 수신 14 펄서에 의해 생성 16. 맥박 센서 22 우주선에 탑재되어 12, 시계처럼 24. 우주선의 위치와 속도를 알고 있다면 우주선의 펄스 도착 시간을 SSBC로 전송하여 Eq. (4).

그림에서. 1, 우주선의 위치에서 시간 t에서 SSBC에 비해 펄서 신호가 SSBC에 도착한 것과 비교하여 우주선에 도착하는 시간의 오프셋은 다음과 같습니다. t b-t obs = Δ ⁢ t = n ^ · r ⇀ c (5)
어디서 t SSBC에 펄스가 도달하는 시간입니다.obs 우주선에서 관찰하는 시간입니다. 원점에서 펄서까지의 단위 방향이고 c는 빛의 속도입니다. 많은 펄서가 지구에서 너무 멀기 때문에 펄서에 대한 단위 방향은 태양계 전체에서 일정한 것으로 간주 될 수 있습니다. 더 가까운 펄서는 단위 방향을 결정할 때 펄서의 모션 효과와 사용자 위치를 포함해야합니다. Eq에서 사용 된 시간. (5)는 좌표 시간 또는 관성 프레임에서 정지 된 표준 시계로 측정 한 시간이라고합니다. 우주선의 시계는 SSBC에 대해 실제로 정지하지 않는 한 (속도가 0) 동일한 중력 전위에 있지 않으면 좌표 시간을 측정하지 않습니다. 우주선의 시계는 적절한 시간을 측정하거나 시계가 4 차원 시공간 경로를 따라 이동할 때 측정하는 시간을 측정합니다. 펄서 기반 내비게이션 시스템의 목표는 부분적으로 우주선의 정확한 위치 정보를 제공하는 것입니다. 이는 펄서 신호를 정확하게 타이밍 한 다음이 시간을 SSBC로 올바르게 전송함으로써 만 달성 할 수 있습니다. 이러한 내비게이션 시스템의 성능 목표가 300 미터 미만의 주문에 대해 정확한 위치 정보를 제공하는 것이라면 시스템은 최소 1μs (≈300 / c) 미만의 정확한 시간 펄스를 제공해야합니다. 이러한 유형의 정확도를 달성하려면 관성 프레임과 중력 전 위장 내에서 움직이는 시계에 대한 일반 및 특수 상대 론적 효과를 고려해야합니다. 시간에 대한 이러한 영향의 파생은 아래에 제공됩니다.

시공간 좌표 프레임의 4 차원은 다음과 같이 일반화 될 수 있습니다.
= (6)
ct는 시간과 관련된 차원을 나타냅니다. 공간 좌표를 나타냅니다. 임의의 좌표 변환에 대해 변하지 않는 스칼라 메트릭 ds 2를 만들 수 있습니다. 이것은 다음과 같이 정의 될 수 있습니다.
ds 2 = gαβdx α dx β (7)
어디서 gαβ= gap (ct, x, y, z)는 시간 및 공간 좌표와 g의 요소의 함수입니다.αβ 대칭 공변 텐서를 형성하고 dx i 항은 객체의 시공간 경로를 정의합니다. 시공간에서 광선 또는 입자가 취하는 경로를 월드 라인이라고합니다. 시계가 시공간 프레임에서 세계 선을 따라 이동할 때 시계로 측정 한 적절한 시간 τ는 d τ =  ds  c or (8 a) d를 통해 스칼라 불변과 관련이 있습니다. τ 2 =-ds 2 c 2 (8 b)

특수 상대성 이론에서 메트릭 텐서는 데카르트 평면 공간 (중력 없음)으로 다음과 같이 작성할 수 있습니다.
ds 2 = −c 2 dt 2 +(dx 2 + dy 2 + dz 2 ) (9)
약한 중력장과 거의 평평한 공간의 일반 상대성 이론에서이 메트릭은 순서 O (1 / c)가 ds 2 =-(1-2 U c 2) c 2 dt 2로 표시되었습니다. + (dx 2 + dy 2 + dz 2) (10)
여기서 U는 우주선 시계에 작용하는 총 중력 잠재력입니다. v 2의 공간 속도 항 사용 = (ⅆ x ⅆ t) 2 + (ⅆ y ⅆ t) 2 + (ⅆ z ⅆ t) 2 (11)
이는 태양계를 통과하는 우주선의 로컬 프레임 속도를 나타냅니다. (10) dt 2로 나눌 수 있습니다. (ⅆ s ⅆ t) 2 =-(1-2 ⁢ U c 2) c 2 + v 2 (12)
식 사용. (8b) 제곱근을 취하고, Eq. (12)는, (ⅆ τ ⅆ t) = [1-2 U c 2-(v 2 c 2)] 1 2 (13)
Eq에 Taylor-series 확장 사용. (13) O (1 / c 2) 차수의 항만 유지하면 d τ = [1-U c 2-1 2 (v c) 2] dt (14)가됩니다.
최대 오차는 10-12 초입니다.

Eq를 통합함으로써. (14) 우주선 시계에 대해 좌표 시간에 상대적인 적절한 시간의 해를 결정할 수 있습니다.

Eq 통합. (14) 시간이 지남에 따라 ∫ τ 0 τ ⅆ τ = (τ-τ 0) = ∫ t 0 t [1-U c 2-1 2 (vc) 2] ⅆ t = (t -t 0)-∫ t 0 t [U c 2 + 1 2 (vc) 2] ⅆ t (15)
지구 궤도를 도는 우주선의 경우 우주선 시계의 속도는 v를 다음과 같이 표현하는 지구 좌표 프레임과 관련 될 수 있습니다.
V 2 =( 이자형+ SCIE)·( 이자형+ SCIE) (16)
어디 이자형 SSBC 프레임에서 지구의 속도입니다. SCIE SSBC 프레임에서 지구에 대한 우주선의 속도입니다. Eq. 확장 (16) 및 작은 용어 무시, Eq. (15)는 (t-t 0) = (τ-τ 0) + ∫ t 0 t [U c 2 + 1 2 (v E c) 2] ⅆ t + 1 c 2로 다시 쓸 수 있습니다. (v _ E · ρ _ SC / E) (17)
어디 v이자형=∥이자형∥. 오른쪽의 세 번째 용어는 종종 Sagnac 효과라고합니다. 펄서 위치의 다음 표현 사용 :
=0+ V)>0(T-T0) (18)
어디 0 미래 시점의 위치로 간주됩니다. T0, 식의 오른쪽에있는 두 번째 항에 대한 해를 얻을 수 있습니다. (17).이 펄서 운동 모델은 일정한 속도를 가정합니다. 0, 펄서의 "적절한 운동"이라고하며 반경 및 횡 속도 용어를 포함합니다. 펄서가 우주선에서 매우 멀리 떨어져 있다는 추가 가정을 사용하여 0& gt & gt0(티-티0), 펄서 방향은 0/∥0∥, 해는 (t-t 0) = (τ-τ 0) + (T-T 0)-1 c ⁡ [(n ^ · V ⇀ 0) Δ ⁢ t-(n ^ · r ⇀)]-1 2 c  D ⇀ 0  ⁡ [ r ⇀  2-(n ^ · r ⇀) 2] + 1 c  D ⇀ 0  ⁡ [(V ⇀ 0 · r ⇀ 0 · r ⇀) -(n ^ · V ⇀ 0) (n ^ · r ⇀)] Δ t-1 2 c  D ⇀ 0  ⁡ [ V ⇀ o  2-(n ^ · V ⇀ 0 ) 2] Δ t 2 + (1 + γ) ∑ j GM jc 3 ⁡ [ln ❘ (n ^ · r ⇀ j) +  r ⇀ j ] + 1 c 2 (v ⇀ E · ρ ⇀ SC / E) (19)
어디 r제이 는 태양계에서 j 번째 행성 체에 대한 우주선의 위치이고 γ는 시간 팽창 계수입니다. 의 가치 이후 0 태양은 태양계 내에 1 차 중력장을 부과하고 γ는 1과 같게 설정할 수 있습니다. (19)는 (t-t 0)-(T-T 0) = (τ-τ 0) + n ^ · r ⇀ c-1 2 c  D ⇀ 0  ⁡ [ r ⇀  2-(n ^ · r ⇀) 2] + 2 μ sc 3 ⁡ [ln ❘ (n ^ · r ⇀) +  r ⇀ ] + 1 c 2 (v ⇀ E · ρ ⇀ SC / E) (20)
여기서 μ에스= GM에스 태양의 중력 매개 변수입니다. SSBC에서 측정 된 시간의 변화로 왼쪽을 설정합니다. (20) 다음과 같이 쓸 수 있습니다 : Δ tb = Δτ + n ^ · r ⇀ c-1 2 c  D ⇀ 0  ⁡ [ r ⇀  2-(n ^ · r ⇀ 2)] + 2 μ sc 3 ⁡ [ln ❘ (n ^ · r ⇀) +  r ⇀ ] + 1 c 2 ⁢ (v ⇀ E · ρ ⇀ SC / E) (21)
식의 오른쪽에있는 두 번째 항. (21)은 1 차 도플러 지연이고 세 번째 항은 연간 시차의 영향 때문입니다. 이 두 용어를 함께 Roemer 지연이라고합니다. 네 번째 용어는 Sun의 Shapiro 지연이고 다섯 번째 용어는 SSBC와 관련된 이동중인 휴대용 시계의 상대 론적 효과입니다. 다섯 번째 항을 추가하면이 방정식은 지구 기반 펄서 타이밍 관측에 사용되는 방정식과 잘 일치합니다. 전파 관측에 대한 수정으로 나타나는 성간 매체 분산 측정 용어는 식에서 0으로 간주됩니다. (21) 고주파 X 선 방사선.

우주선의 시계에 의한 펄스 도착 측정 값이 주어지면 측정 된 시간 τ에는 TDB로 변환 된 자체 기준 시간 (예 : UTC 또는 TAI)이 있어야합니다. (21)은 SSBC에서 동일한 펄스의 도착 시간을 결정하는 데 사용할 수 있습니다. Eq. (4) 예측 및 감지 된 도착 시간의 비교를 위해 추가로 활용할 수 있습니다. Eq. (21) SSBC 위치, 태양의 중력 매개 변수 및 지구의 속도를 제공하려면 정확한 천체력 정보가 ​​필요합니다. 그것은 지구 궤도를 도는 우주선을위한 것이며, 유사한 유도를 통해 행성 간 우주선으로 확장 할 수 있습니다.

VIII. 시간 결정 및 수정 방법

정확한 우주선 위치를 알고 있다면 Eq. (21)은 SSBC에서 펄스의 예상 도착 시간을 결정하는 데 사용할 수 있습니다. 우주선 시계에 오류가있는 경우 측정 된 도착 시간과 예상 도착 시간의 오프셋이이 시계 오류의 척도를 제공합니다.

우주선 시계는 τ T = τ C + b + k ⁡ (τ C-τ 0) + 1 2 j ⁡ (τ C-τ 0) 2 + η ⁡ (τ C) ( 22)
어디 τ 진정한 시간, τ 시계에서 측정 된 시간, τ0 는 기준 시간, b는 클럭 바이어스, k는 클럭 속도, j는 클럭 지터, η는 클럭 내의 노이즈입니다. b, k, j의 추정치가 주어지면이 클럭 모델을 사용하여 칼만 필터를 만들 수 있습니다. 이 필터에 대한 측정 값은 예상 클럭 오류와 계산 된 클럭 오류 d τ 사이의 오프셋입니다.

= τ T-τ C ≈ b + k ⁡ (τ C-τ 0) + 1 2 j ⁡ (τ C-τ 0) 2 (23) d ⁢ τ = τ P-τ C (24)
어디 τ Eqs의 펄스 도착 시간입니다. (4) 및 (21). 펄서 신호의 주파수는이 필터를 사용하여 로컬 클록을 안정화하는 데 사용됩니다.
IX. 천체 점유 위치 결정 방법

Earth-Limb occultation 방법에서 탐지기는 지구의 팔다리를 향합니다. 차량이 궤도에서 지구를 중심으로 회전함에 따라 X- 선 소스가 팔다리 뒤로 이동 한 다음 반대편에 다시 나타납니다. 지구 뒤에서 보낸 시간은 지구 디스크의 코드 길이를 나타냅니다. 소스 위치와 지구의 크기를 알면 지구를 기준으로 차량의 위치를 ​​결정할 수 있습니다. X- 선 신호는 소스가 팔다리 가까이 지나갈 때 대기에 흡수되기 시작하기 때문에 지구 대기에 대한 지식이 필요합니다.

이 신비 술 방법은 지구의 팔다리를 사용하여 설명되지만이 개념에서는 모든 천체를 사용할 수 있습니다. 알려진 치수 특성과 위치 에페 미 어드를 가진 본체는 보이는 X- 선 소스의 경로를 오컬트하는 한이 방법의 좋은 후보입니다. 비록 우리가 X 선 소스를 언급하지만, 천체 방사선의 소스가 사용될 수 있다는 것은 잘 알려져 있습니다.

X. 위치 추정 방법

펄서의 고유 한 특성으로 인해 우주선과 같은 우주선의 위치를 ​​결정할 수 있습니다. 12 도. 1. 위치는 원하는 관성 기준 좌표계를 기준으로 결정됩니다. 비록 SSBC가도 1에 도시되어있다. 1, 그러한 프레임을 제공합니다. 임무 작전에서 차량 위치를 지구 위치와 관련시키는 것이 더 유용합니다. 위에서 설명한 occultation 방법과 아래에 설명 된 위치 추정기 및 콜드 스타트 ​​프로세스는 지구에 대한 위치 결정 방법입니다. 행성 간 임무에서 우주선의 위치를 ​​결정하는 방법은 이러한 지구 기반 예제에서 확장 될 수 있습니다.

"위치 추정기"방법에서 우주선에서 수신 된 펄서 신호는 주로 SSBC와 우주선 사이의 거리에 의해 SSBC에 도착하는 신호와 상쇄됩니다. (5). 반대로 시간 오프셋을 직접 측정 할 수있는 경우 위치 오프셋을 계산할 수 있습니다. 펄서의 개별 펄스는 식에 정의 된 모델에 따라 SSBC에 도달합니다. (4). 이 방정식을 사용하면 k 번째 펄스가 선택한 기준 T를 기준으로 SSBC에 도달하는시기를 결정할 수 있습니다.0. SSBC에서 멀어짐에 따라 우주선 센서는 T에 상대적인 시간에 펄스를 감지합니다.0 Eq. (21). 그러나 우주선 위치를 알 수 없으면 Eq. (21) 우주선 시간을 SSBC로 변환하는 데 사용할 수 없습니다. 펄스는 여전히 감지하고 시간을 설정할 수 있지만 우주선 자체와 관련이 있습니다.

위치 추정기 방식에서는 우주선 위치의 이전에 추정 된 값이 사용됩니다. 이 예상 위치에서 , 우주선의 예상 도착 시간을 감지 된 도착 시간과 비교합니다. 도 1에 도시 된 바와 같이. 7, 이러한 값의 불일치는 오프셋 위치의 추정치를 제공합니다. . 도 1에 도시 된 바와 같이. 도 7에서 위치 오류는 펄서에 대한 가시선에서 펄스의 측정 된 시간 오프셋과 관련이 있습니다. 다른 위치에서 펄서를 사용하면 각 펄서 방향의 가시선 측정이 제공됩니다. 이러한 서로 다른 펄서 측정 값을 결합하면 3 차원에서 위치 오프셋이 해결됩니다.

Eq. (21)은 위치 오프셋을 결정하는 데 사용할 수 있습니다. 오프셋 정의 그런,
= (25)
시간 오류는 다음과 같이 계산할 수 있습니다.
δt = t(τ, , , 0, 이자형)−(, , , 0, 이자형) (26)
식의 비선형 항에 대한 근사치. (21) 식을 사용하여 생성 할 수 있습니다. (25) as,  r ⇀  2 ≈  r ⇀  2 + 2 ⁢ r

· δ r ⇀ (27) (n ^ · r ⇀) 2 ≈ (n ^ · r

) (n ^ · δ r ⇀) (28) ln  r ⇀ · r ⇀-(n ^ · r ⇀) 2 ≈  n  ⁢ r



코멘트:

  1. Fegul

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  2. Nathraichean

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  3. Kagagami

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