천문학

라그랑주 포인트의 면적 결정

라그랑주 포인트의 면적 결정


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나는 Lagrange 포인트를 상당한 양으로 조사했으며 L4 및 L5 위치를 넓은 스위핑 영역으로 보여주는 많은 이미지를 보았습니다. 목성의 트로이 목마 소행성이 이에 대한 좋은 예입니다. 또한, L3는 때때로 Hill Sphere의 삽입물로 표시됩니다 [하지만 그것은 또 다른 질문입니다]. 나는 각 점이 정확한 수학적 위치에있는 공간에서 무한히 작은 점이라고 가정합니다 (다른 중력 영향은 무시 함).

내 질문: 각 Lagrange 위치에서 "안정된" 영역을 결정할 수 있는 방법이 있습니까? 특히 L4 및 L5 영역에서.

본질적으로, 나는 라그랑주 포인트의 중심에서 얼마나 멀리 떨어져 있는지에 따라이 위치에 항공기가 머무르는 데 필요한 추력의 양을 알고 싶습니다.


내 질문 : 각 라그랑주 위치에서 "안정된"지역을 결정하는 방법이 있습니까? 특히 L4 및 L5 지역에서.

박사: 예,하지만 일반적으로 "시행 및 오류"의 멋진 버전입니다.

우리는 때때로 이 가증스러운 제로 속도 전위 다이어그램이 라그랑주 점에 "결합" 또는 "결합 해제"된 영역을 표시한다고 잘못 들었습니다. 그것은 최대이다 L4와 L5 근처에 있지만 일부 질량 비율의 경우 이러한 영역이 트로이 목마 소행성을 수집하고 축적 할 수 있음을 알고 있습니다.

출처

문제는 이것이 하나의 특정 속도에서 의사 전위의 2D 플롯이라는 것입니다. 의사 잠재력은 다음과 같이 주어진다.

$$ C = omega ^ 2 (x ^ 2 + y ^ 2) + 2 left ( frac { mu_1} {r_1} + frac { mu_2} {r_2} right)-(v_x ^ 2 + v_y ^ 2 + v_z ^ 2) $$ 2D 슬라이스로 그릴 때 윤곽이되는 이러한 제로 속도 표면은 궤도를 전혀 묘사하지 않습니다. 다른 윤곽에 입자를 넣는 경우 $ C = 0 $ 이 선 중 하나를 따르지 않고 가속됩니다.

그래서 대신 사람들이하는 일은 시작 위치와 속도 벡터의 전체 범위로 수치 시뮬레이션을 실행하고 "시행 착오"의 멋진 버전을 통해 입자가 동일한 속도로 시작했던 동일한 위치에서 다시 돌아 오는지 알아내는 것입니다. 벡터로 시작했습니다. 폐쇄적이고주기적인 궤도를 찾을 때마다 "안정 영역"을 파악하는 데 도움이됩니다.

4D 또는 6D 위상 공간 영역을 찾는 방법의 한 예 ($ x, y, v_x, v_y $ 또는 $ x, y, z, v_x, v_y, v_z $) 주기적인 궤도가 닫혀 있는 것은 transition matrix를 사용하여 더 빠르게 만들 수 있는 촬영 방법입니다.

F. Marzari 외의 그림 1에서. 트로이 목마 소행성의 기원과 진화 당신은 제로 속도 윤곽선을 사용하여 안정된 궤도 영역이 실제로 그것을 말하지 않고 어디에 놓여 있는지 나타내는 것이 얼마나 유혹적인지 ​​알 수 있습니다. 대신 "관련이 매우 깊다"라는 단어가 사용됩니다.

그림 1. 원형 제한 3 체 문제에서 5 개의 라그랑주 평형 점의 위치. 1차 및 2차 질량(이 예에서 태양과 행성)은 각각 채워진 크고 작은 원으로 표시됩니다. 선택한 제로 속도 곡선(텍스트 참조) 밀접한 관련이 있습니다 시스템에서 발생할 수있는 궤도 유형. 문자 P, H 및 T는 각각 추월, 편자 및 올챙이 궤도를 나타냅니다. 두 개의 질량과 각각의 L은4 그리고 나5 점은 정삼각형을 형성합니다.

단순한 원형의 제한된 3 체 모델과 실제 태양계를 넘어서고 싶다면 단순한 CR3BP 모델의 모든 현실 왜곡으로 인해 이러한 궤도가 장기적으로 진화하기 때문에 수치 시뮬레이션이 훨씬 더 복잡해집니다. 목성의 트로이 소행성의 공명 구조 I. 장기적인 안정성과 확산


라그랑주 포인트 영역 결정-천문학

이제 동시 회전 프레임에서 질량의 운동 방정식은 방정식 (1056)-(1058)에 지정됩니다. - 평면에서의 운동은 코리올리 가속도의 존재로 인해 복잡해집니다. 그러나 -축에 평행한 운동은 단순히 전위의 운동에 해당합니다. 따라서-축에 평행 한 작은 변위에 대한 라그랑주 점 (모두에 있음)의 안정성 조건은 간단합니다 (섹션 3.2 참조).

이 조건은-평면의 모든 곳에서 충족됩니다. 따라서 Lagrange 점은 모두 -축에 평행한 작은 변위에 대해 안정적입니다. 따라서-평면 내에있는 작은 변위에 대한 안정성을 조사해야합니다.

라그랑주 점이 좌표에서 평면에 있다고 가정합니다. 작은 진폭을 고려해 보겠습니다.

여기서 및는 극소입니다. Lagrange 포인트를 Taylor 시리즈로 확장하고 소량으로 2 차 조건까지 유지하면서

여기서,, 등. 그러나 정의에 따라 Lagrange 지점에서 확장은 다음과 같이 단순화됩니다.

마지막으로 방정식 (1097)-(1099) 및 (1101)을-운동 방정식 (1056) 및 (1057)으로 대체하면

및 형식의 위 방정식 쌍의 해를 검색해 보겠습니다. 우리는 얻는다

이 방정식은 행렬의 행렬식이 0 인 경우에만 사소한 해를 갖습니다. 따라서 우리는

이제 편리하게 정의할 수 있습니다.

여기서 모든 항은 점에서 평가됩니다. 따라서

동일 선상 라그랑주 점,, 및를 고려하십시오. 이들은 모두-축에 있으므로, 및으로 특징 지워집니다. 위의 방정식에서 그 및. 따라서 , 및 . 따라서 방정식 (1105)은

어디 . 이제 라그랑주 점이 작은 변위에 안정적이기 위해서는 식 (1105)의 4개의 근, , 모두가 순수하게 허수여야 합니다. 이것은 차례로 위 방정식의 두 뿌리가,

모두 실제와 음수 여야합니다. 따라서 안정성 기준은 다음과 같습니다.

그림 56은 이 매개변수(즉, )의 허용된 모든 값에 대해 의 함수로 세 개의 동일선상의 라그랑주 점에서 계산된 것을 보여줍니다. 세 점 모두에 대해 항상 1보다 큰 것을 알 수 있습니다. 따라서, 우리는 공 선형 라그랑주 점,,,은 공회전 프레임에서 본질적으로 불안정한 평형 점이라는 결론을 내립니다.

그림 56 : 실선, 짧은 점선 및 긴 점선 곡선은,, 및 Lagrange 포인트의 함수로 표시됩니다.

이제 삼각형 라그랑주 점과. 이러한 점이 특징입니다. , , , 가 뒤따릅니다. 따라서, 및, 여기서 위쪽 / 아래쪽 기호는 각각 및에 해당합니다. 식 (1105) 따라서

두 지점 모두에 대해. 이전과 마찬가지로 안정성 기준은 위 방정식의 두 근이 모두 실수이고 음수여야 한다는 것입니다. 이것은 안정성 기준을 산출하는 27 , mu_2 , (1- mu_2) $-> 경우에 해당합니다.

정규화되지 않은 단위에서 이 기준은 다음과 같습니다.

따라서 우리는 질량이 약 질량보다 작다면 동회전 프레임에서 및 라그랑주 점이 안정적인 평형점이라고 결론지었습니다. 이 경우 질량이이 점 주위를 무한정 공전 할 수 있습니다. 관성 프레임에서 질량은 질량 주위의 질량 궤도를 공유하지만 점을 선회하는 경우 질량보다 대략적으로 앞서 있고 점을 공전하는 경우 뒤에 유지됩니다(그림 55 참조). 이러한 유형의 동작 태양계에서 관찰되었습니다. 예를 들어, 트로이 소행성 (Trojan asteroids)으로 알려진 소행성의 하위 부류가 있는데,이 소행성은 태양-목성 시스템 (위의 안정성 기준을 쉽게 충족 함) 주변에 갇혀 있고 결과적으로 목성의 궤도를 공유합니다. 태양은 목성보다 각각 거의 앞뒤로 유지됩니다. 또한 태양-지구 시스템의 및 지점은 먼지 구름으로 가득 차 있습니다.
다음 : 달의 움직임 상승 : 삼체 문제 Previous : 제로 속도 표면 Richard Fitzpatrick 2011-03-31


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에서 : Astrophysical Journal, Vol. 660, No. 2 I, 10.05.2007, p. 1624-1635.

연구 결과 : 학술지 기고›기사›피어 리뷰

T1-비동기식 편심 바이너리 및 행성 시스템의 등전위 표면 및 라그랑주 점

N2 - 준정적 평형을 가정하여 비동기식, 편심 쌍성 및 행성계에서 등전위면과 라그랑주 점의 존재와 특성을 조사합니다. 우리는 비동기 회전과 편심 궤도를 설명하는 이진 전위를 채택하고 질량비, 비동기도, 궤도 이심률, 상대 궤도에서 별이나 행성의 위치의 함수로 라그랑주 점의 위치를 ​​계산합니다. 우리는 등전위 표면의 기하학이 비동기식, 편심 쌍성 별 및 행성계에서, 특히 구성 요소 별 또는 행성이 상대 궤도의 페리아스트론에서 초동기식으로 회전하는 경우 비보존적 질량 전달을 촉진할 수 있음을 발견했습니다. 우리는 또한 위에서 언급한 네 가지 매개변수의 함수로 Roche lobe의 부피 등가 반경을 계산합니다. 일반적인 관행과는 반대로, 우리는 Eggleton의 피팅 공식에서 원형 궤도의 반지름을 편심 쌍성계 또는 행성계의 구성 요소 사이의 순간 거리로 대체하는 것이 항상 체적 등가 반지름에 대한 좋은 근사값으로 이어지지 않는다는 것을 발견했습니다. 로슈 로브. 따라서 비동기식 편심 이진 별 및 행성계에 적합한 부피 등가 Roche 로브 반경에 대한 일반화 된 분석 피팅 공식을 제공합니다. 이러한 공식은 2 차원에서 16 배 및 6 배의 동적 범위를 포괄하는 관련 2 차원 매개 변수 공간 전체에서 1 % 이상 정확합니다.

AB-준 정적 평형을 가정하여 비 동시성 편심 이원성 및 행성계에서 등전위 표면과 라그랑주 점의 존재와 특성을 조사합니다. 우리는 비동기 회전과 편심 궤도를 설명하는 이진 전위를 채택하고 질량비, 비동기 정도, 궤도 편심, 상대 궤도에서 별이나 행성의 위치에 따라 라그랑지안 점의 위치를 ​​계산합니다. 우리는 등전위 표면의 기하학이 특히 구성 요소 별이나 행성이 상대 궤도의 periastron에서 초동 기적으로 회전하는 경우 비동기식, 편심 이원성 및 행성 시스템에서 비 보존 적 질량 전달을 촉진 할 수 있음을 발견했습니다. 또한 위에서 언급 한 네 가지 매개 변수의 함수로 Roche 로브의 부피 등가 반경을 계산합니다. 일반적인 관행과는 달리, Eggleton의 피팅 공식에서 원형 궤도의 반경을 편심 이원 또는 행성 시스템의 구성 요소 사이의 순간 거리로 대체한다고해서 항상 체적 등가 반경에 대한 좋은 근사치가되는 것은 아닙니다. 로슈 로브. 따라서 우리는 비동기식, 편심 쌍성 및 행성계에 적합한 부피 등가 로슈 엽 반경에 대한 일반화된 분석 피팅 공식을 제공합니다. 이러한 공식은 2차원에서 16 및 6차수의 동적 범위를 포함하는 관련 2차원 매개변수 공간 전체에서 1%보다 정확합니다.


지구 달

Earth-Moon 2 체 시스템을 살펴 보겠습니다. 달은 한 달에 한 번씩 지구 주위를 회전합니다. 궤도는 타원형이지만 평균 반경은 약 385,000km입니다.

지구는 달보다 약 81배 더 무겁습니다. 달에 비해 다른 물체에 가하는 중력의 힘도 비슷합니다. 테스트 질량 (제 3의 몸체)을 삽입하면이 두 개체 사이에 두 개체의 힘을 경험하게됩니다. (이 경우 테스트 질량은 다른 두 몸체에 비해 너무 중요하지 않아 영향을 미치는 것이 중요하지 않음을 의미합니다). 지구 궤도를 도는 위성이나 우주선은 거대한 유람선의 갑판에 착륙하는 파리가 보트의 트림에하는 것보다 달의 궤도에 덜 차이가 있습니다.

위는 규모가 아니라 지구와 달 사이 어딘가에 지구 중심 궤도(지구 주위를 도는)에 ​​있는 위성입니다. 그것은 지구로부터의 중력에 의해 지구쪽으로 끌려 가고 있습니다. 그것은 달의 질량에 의해 달쪽으로 끌려 가고 있습니다. 지구가 훨씬 더 크기 때문에 끌어당기는 힘은 더 크지만 역제곱 때문에 위성이 지구에서 멀어지면 빠르게 떨어집니다. 지구에서 당기는 당기는 것과 달에서 당기는 것은 어디입니까? 이러한 것들이 동등한 곳에 우리는 중력 중립 점.

위는 위성의 위치를 ​​기반으로 위성에 작용할 힘의 플롯이며, x 축에서 표준화 된 것은 지구와 달 사이의 거리입니다. y 척도는 로그입니다. 두 곡선이 교차하는 곳이 중력 중립점입니다. 보시다시피 지구가 우세하기 때문에 달까지 가는 길이 약 90%입니다.

달의 중심에서 약 24,000 마일 정도 달과 매우 가깝습니다.

이 점은 이론적으로 객체가 가까이 이 거리보다 달에 대한 것은 달을 향해 당겨질 것입니다. 더 멀리 이 지점보다 달에서 지구로 되돌아 갈 것입니다. 언덕의 꼭대기입니다. 만약 당신이 달과 지구 사이를 여행하다가 이 지점을 통과했다면, 추진력 없이도 달의 중력에 사로잡혀 천천히 끌어당겼을 것입니다. 아니면 당신은?

이 지점은 Lagrange Point (특히 L1, 또는 Langrange 포인트 1) 나쁜, 나쁜 물리학 교과서 및 블로그에 의해. 이것은 잘못된. 일부 책에서는 1페니를 중립 지점에 놓으면 그 자리에 머물며 어느 방향으로도 당기지 않는 것 또한 쓰레기라고 말합니다! (몇 가지 이유 때문에).

중력 중립 점은 아니 라그랑주 포인트.

인터넷이이 잘못된 사실을 전파하는 것을 막도록합시다. Lagrange Points가 실제로 무엇인지 알아 보겠습니다.

라그랑주 포인트

위에서 설명한 상황의 문제점은 물체가 움직이지 않는다는 비현실적인 가정을 만드는 것입니다. 그러나 우리는 달이 지구 주위를 공전하고 있다는 것을 알고 있습니다. 기사 앞부분의 애니메이션을 기억하십니까? 우리는 위성이 다른 위성과 같은 주기로 궤도를 돌 수있는 유일한 방법은 중심에서 같은 거리에있을 때 뿐이라고 결정했습니다. 이 '중력 중립 점'을 남긴 페니는 달보다 지구에 더 가깝기 때문에 달보다 내부 (그리고 더 빠르다)를 맴돌고 빠져 나갈 것입니다.

지금, 점이 있다 페니(또는 위성)가 달에서 같은 속도로 공전할 수 있는 지구와 달 사이(따라서 달과 함께 고정된 상태로 유지) 우리가 부르는 것 라그랑주 포인트.

지구와 달 사이에 지점이 있는데, 반경이 더 작아서(그래서 더 빨리 공전하기를 원함), 거기에 놓인 물체는 달의 중력에 의해 당기고 그 차이를 상쇄할 수 있습니다. 각 가속도는 위성에 가해지는 합력을 줄이고 달과 같은 시간 주기로 궤도를 돌게 합니다.

두 개의 큰 몸체 사이의이 지점을 L이라고합니다.1, 또는 Langrange Point 1 (때로는 Libration 지점). 나중에이 거리를 계산하는 방법을 살펴 보 겠지만 L1 중력 중성점보다 지구에 훨씬 더 가깝습니다(L1 지점은 달까지의 길이의 약 84 %입니다. cf. 중립 점에 대해 계산 된 90 %). L 통과1 점은 위성이 지구 궤도를 도는 것을 멈추고 달 궤도를 도는 위치를 표시합니다.

하지만 L1 위성이 달과 같은주기에 공전 할 수있는 유일한 지점은 아닙니다. 더 많은 정보가 있습니다(&hellip)

다른 쪽 달의 궤도는 일반적으로 달보다 더 긴 시간을 가지는 궤도이지만 결합 달과 지구의 중력의 합이 위성을 더 강하게 끌어 당겨 달과 같은 시간 주기로 궤도를 돌게합니다. 이 지점을 L이라고합니다.2.

아직 끝나지 않았습니다. & hellip이 더 있습니다.

에 요점도 있습니다. 다른 쪽 지구와 거의 정반대에 위치하며, 지구에서 오는 힘과 달에서 오는 매우 약한 힘이 결합되어 달과 같은 기간에 위성을 궤도에 배치합니다. 이 점을 L이라고 합니다.3. (이 궤도의 반경은 달의 반경보다 약간 더 큽니다. 왜냐하면 그것에 작용하는 힘은 지구와 달의 결합 된 힘이기 때문입니다).

L의 위치1 중력과 구심력의 균형을 맞추는 다음 방정식의 해입니다.

여기 아르 자형 L로부터의 거리1 달을 가리키고 아르 자형 는 달과 지구 사이의 거리이며, 미디엄이자형미디엄미디엄 각각 지구와 달의 질량입니다.

이것을 r에 대해 재정렬하면 풀이가 필요한 5차 방정식이 생성되지만 M에 대한 지식을 적용하면이자형 > M미디엄, 그러면이 근사치를 크게 단순화합니다.

Simarly, L 용2, 해는 달의 반대편에 있는 중력과 구심력의 균형을 통해 계산할 수 있습니다.

위와 동일한 단순화를 적용하면 동일한 답이 나옵니다. 이 근사값으로 L2 점은 L과 달의 뒤쪽에서 같은 거리입니다.1 포인트는 앞입니다.

마지막으로 L의 위치3 이 방정식에 대한 해답입니다 (여기서는 아르 자형 L은 거리입니다3 달이 아니라 지구에서 온 것입니다).

다시 말하지만 단순화를 적용하면이 근사치를 결정할 수 있습니다.

엘1, 패2, 그리고 나3

1, 패2, 그리고 나3 모두 지구와 달의 중심을 통해 일직선으로 놓여 있습니다. 이 세 가지 점의 개념은 Leonard Euler에 의해 발견되었습니다.

그러나 몇 년 후 이탈리아 수학자 Giuseppe Ludovico De la Grange Tournier는 실제로 다섯 포인트, 그래서 그들은 Lagrange 포인트로 그 이름을 따서 명명됩니다.

그래서 다른 두 점은 어디에 있습니까?

엘4 그리고 나5

4 그리고 나5 정삼각형의 정점에서 중심선의 양쪽에 대칭으로 배치되고 정삼각형의 정점에서 60 & deg 위치에 배치됩니다 (다른 정점은 달의 중심과 지구-달 시스템의 중심이 됨).

무게 중심은 지구-달 쌍의 공통 질량 중심이며, 이 지점에서 두 쌍이 볼라처럼 회전합니다. 그러나 지구는 달보다 훨씬 더 무겁기 때문에 무게 중심은 여전히 ​​지구 내부에 있습니다(표면 아래 약 1,700km). 달과 지구가 같은 질량에 더 가깝다면, 그들이 회전하는 무게 중심은 둘 다 바깥에 있고 거대한 덤벨처럼 그 주위를 돌게됩니다.

실제로 지구-달 시스템에서는 회전하는 올림픽 해머 던지기의 흔들림과 비슷합니다.

더 엘4 그리고 나5 점은 달의 궤도 바로 바깥에있는 궤도에 놓여 있으며, 벡터 수학은 그 선을 따라 달에서 당기는 힘이 지구에서 오는 구성 요소와 같도록 균형을 이룹니다. 이 벡터 삼각형은 Wikipedia의 이 다이어그램에서 볼 수 있습니다.

4 전통적으로 궤도를 이끄는 점으로 정의되며 L5 보온재.


라그랑주 점의 면적 결정 - 천문학

라그랑주 포인트 (L-points)는 또한 중력에 의해서만 영향을받는 작은 물체가 이론적으로 두 개의 큰 물체 (예 : 지구 및 달에 대한 위성)에 상대적으로 고정 될 수있는 궤도 구성의 5 개 위치입니다. 라그랑주 점은 두 개의 큰 질량의 결합 된 중력이 회전하는 데 필요한 구심력을 정확하게 제공하는 위치를 표시합니다. 이는 물체가 상대적 위치가 지속적으로 변하는 궤도가 아닌 공간에서 "고정 된"위치에있을 수 있다는 점에서 정지 궤도와 유사합니다.

라그랑주 점은 원형 제한 3체 문제의 고정 솔루션입니다. 예를 들어, 두 개의 무거운 물체가 공통 질량 중심을 중심으로 원형 궤도를 도는 경우, 상대적으로 무시할 수 있는 질량의 세 번째 물체가 두 개의 무거운 물체에 대해 상대적인 위치를 유지할 수 있는 다섯 개의 위치가 공간에 있습니다. 두 개의 공동 궤도를 도는 물체와 동일한주기를 가진 회전 기준 프레임에서 볼 수 있듯이, 위성의 원형 운동과 결합 된 두 개의 거대 물체의 중력장은 라그랑지안 지점에서 균형을 이루어 세 번째 물체가 처음 두 시체. P> 3개의 동일선상에 있는 라그랑주 점은 1750년경 Leonhard Euler에 의해 처음 발견되었습니다.

1772년 이탈리아-프랑스 수학자 Joseph Louis Lagrange는 유명한 3체 문제를 연구하던 중 결과에서 흥미로운 기이한 점을 발견했습니다. 원래 그는 시스템에서 임의의 수의 물체 사이의 중력 상호 작용을 쉽게 계산하는 방법을 발견하기 시작했습니다. 뉴턴 역학은 그러한 시스템이 충돌이 발생하거나 물체가 던져질 때까지 물체가 무질서하게 궤도를 도는 결과를 초래한다고 결론을 내리기 때문입니다. 균형을 이룰 수 있도록 시스템 밖으로

이 결론 뒤에 있는 논리는 본체가 하나인 시스템은 사소하다는 것입니다. 본체가 두 개인 시스템은 본체가 공통 질량 중심 주위를 도는 비교적 단순한 2체 문제입니다. 그러나 두 개 이상의 바디가 도입되면 수학적 계산이 매우 복잡해집니다. 궤적을 따라 모든 지점에서 모든 물체 쌍 사이의 모든 중력 상호 작용을 계산해야하는 상황이 발생합니다.

그러나 Lagrange는 이것을 더 간단하게 만들고 싶었습니다. 그는 간단한 가설을 가지고 그렇게했습니다. 물체의 궤적은 시간이 지남에 따라 행동을 최소화하는 경로를 찾는 것에 의해 결정됩니다. 이것은 운동 에너지에서 위치 에너지를 빼서 찾을 수 있습니다. 이러한 사고 방식으로 라그랑주는 고전적인 뉴턴 역학을 재 공식하여 라그랑주 역학을 일으켰습니다. 그의 새로운 계산 시스템을 통해 Lagrange의 연구는 무시할 수있는 질량의 세 번째 물체가 이미 거의 원형 궤도에있는 두 개의 더 큰 물체 주위를 도는 방법에 대한 가설을 세웠습니다.

그는 더 큰 물체와 함께 회전하는 기준 프레임에서 세 번째 물체가 호스트 물체 (행성)의 원형 궤도를 따라 이동할 때 순 힘이 0 인 특정 고정 지점 5 개를 발견했습니다. 이 포인트는 라그랑주를 기리기 위해 '라그랑지안 포인트'로 명명되었습니다. 그의 수학적 이론이 1906 년 Sun-Jupiter 시스템의 Lagrange 지점에서 트로이 목마 소행성을 발견하기까지 100 년이 넘는 시간이 걸렸습니다.

타원 궤도의 보다 일반적인 경우에는 더 이상 같은 의미의 정지점이 없습니다. 더 이상 라그랑주 '영역'이 됩니다. 원형의 경우와 같이 각 시점에 구성된 라그랑주 점들은 질량체의 궤도와 유사한 정지 타원 궤도를 형성한다. 라그랑주 포인트 위키 백과


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Nicholas Nelson 개발 - 2018년 7월 17일 게시

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크레딧 및 라이선스

Nicholas Nelson, "Finding the Earth-Sun Lagrange Points," PICUP 컬렉션 발행, 2018년 7월.


라그랑주 확률 적 미적분

제목에서 알 수 있듯이 1776 년 회고록 [10]은 확률 미적분의 도움을 받아 여러 측정 오류의 평균을 구할 때 불가피하지만 그에 대해“보상”할 수 있다는 흥미로운 사실을 주장합니다. . 그렇게함으로써 개별적으로 수행 된 측정의 정확도가 향상됩니까? 그렇다면 어떻게해야합니까?

이 문제는 Thomas Simpson이 1755 년에 출판 된“A Letter to the Right Honorable George Earl”[24]에서 매우 분명하게 언급했습니다. 업무 왕립 학회의. Lagrange는 Simpson을 결코 인용하지 않았지만 그가 회고록에 대한 지식이 없다고 믿기는 어렵습니다. 그는 때때로 d’ Alembert와 논의했던 Simpson의 수학 작업을 알고 감사했습니다. 각주 3 그러므로 그가 이 토론을 읽지 않았을 이유가 없습니다. 특히 그것이 1757년에 Miscellanea Taurinensia, 이는 당시 학자들이 자주 인용했습니다. Simpson은 관측 이론, 특히 물리 천문학에서 확률 미적분의 사용을 제안한 최초 또는 최초의 사람 중 한 사람입니다. 라그랑주는 회고록 서문에서 관찰의 확률론적 이론에서 다음과 같이 추정합니다.les erreurs qui peuvent se glisser dans chaque Observation sont données et qu'on connoisse aussi le nombre de cas qui peuvent donner ces erreurs, c'est-à-dire la facilité de chaque erreur"(모든 관찰에서 암시할 수 있는 오류가 제공되므로 이러한 오류를 제공할 수 있는 경우의 수, 즉 각 오류의 확률을 알고 있습니다.) Lagrange는 꽤 자주 명사를 사용했습니다. 시설 (시설) 일반적으로 케이스의 수 또는 불연속 케이스에서 취해진 상수의 확률을 지정하며, 오늘날 연속 케이스의 밀도라고합니다.

따라서 하나는 알려진 "les limites entre lesquelles toutes les erreurs possibles doivent être renfermées avec la loi de leur facilité"(가능한 모든 오류가 해당 시설의 법률에 따라 포함되어야 하는 한계). 그는 계속해서 "Je chercherai dans l’ une et dans l’ autre de ces hypothèses, quelle est la probabilité que l’ erreur du résultat moyen soit nulle ou égale à une quantité donnée”(나는이 두 가설에서 결과 평균의 오류가 0이거나 주어진 양과 같을 확률이 무엇인지 찾을 것입니다).

예를 들어, 문제 I, 아니오. 1은 모든 관측에서 오류가 0, +1 또는 –1 일 수 있고 0에 대한 경우 및 +1과 –1 모두에 대한 경우 숫자의 개별 결과의 평균을 취하여 정확한 결과를 얻을 확률은 얼마입니까? 관찰의?

Lagrange는 이 문제가 다음과 같이 감소한다고 말합니다. 하나 던져 시간이있는 주사위 + 2 얼굴, 그중 0으로 표시됩니다. 1로 표시되고 -1로 표시됩니다. “Trouver la probabilité qu’il y a d’ amener zéro”(0이 나올 확률 찾기) 즉, 얼굴의 합이 0이라는 것입니다. 이 문제는 Montmort, Nicolas I Bernoulli 및 de Moivre에 의해 특히 다루어진 18세기 초의 고전입니다. 이것이 바로 포인트의 문제라고도 불리는 문제이며, 이는 주사위의 문제를 일반화합니다. 에프 각각 정수로 표시되는 얼굴 이자형 1, 이자형 2, …, 이자형 에프, 던져 de Moivre가 함수 생성 이론의 첫 번째 부분에서 다루었던 시간 (두 번째 부분은 반복되는 시리즈로 구성되며 여기서 논의하지 않음). 이런 식으로 만든 주사위는 다항식 ( x^ <>> + x ^ <>> + ldots + x ^ <<>>> ) . 합계를 얻는 방법의 수 에스 던지는 힘의 계수와 같습니다 엑스 에스 다항식 전개에서:

1756 년의 de Moivre [6] (1730, 1738 및 1756 년에 여러 번 출판 됨)는 18 세기 후반에 고전이되었습니다. Lagrange는 당연히 그것을 알고 그의 회고록, 특히 문제 I에서 그것을 사용하여 권력의 상수 항을 계산했습니다.

이것은 그다지 어렵지 않습니다. 예를 들어 Lagrange는 쓰기를 제안했습니다. + (엑스 + 엑스 −1) 형식

αβ 그런 α 2 + β 2 = αβ = .

하나는 제품 () 전원 : 구한 상수는 이항 전개 계수의 합과 같습니다(α + βx) .

예를 들어, = 2, 및 ( alpha = beta = sqrt b ), 찾는 상수는 다음과 같습니다.

Lagrange는 더 이상 관찰하지 않습니다. 6, 이항 계수의 제곱의 합 (1 + 1) 간단한 형태, ( sum_^ <(C_^ ) ^ <2> = C_ <2n> ^ ,> ) 예를 들어 ( sum_^ <(C_^ ) ^ <2> = sum_^ <>^ 씨_^ > > ) 그리고 두 번째 멤버는 2의 조합을 세는 방법입니다 클래스의 객체 . 라플라스는 1780년 8월 11일 라그랑주에게 보낸 편지에서 이 공식을 즉시 다시 증명하기도 했다[[15], vol. XIV, pp. 95–96].

Lagrange는 분명히 이 주제에 대해 범위를 넓히고 하나의 공식에서 우회하여 하나 또는 두 개의 대수 또는 조합 덩어리를 생성하게 되어 기뻤습니다. 특히 우아한 것을 생각해 봅시다.

No. 5, Remark I에서 Lagrange는 시설에 적용되는 법률과이를 계산하는 방법을 찾기 시작합니다. 일반적인 경우에는 다양합니다. 임의적입니다.

라그랑주는 마찬가지로 오류가 0, –1 및 아르 자형, 어디 아르 자형 는 양의 정수이며 간결함을 위해 다루지는 않겠지만 그 독창성을 의심할 필요는 없습니다. 대신 오류의 기능이 알려지지 않았으며 관찰에서 시작하여 결정해야 하는 경우를 살펴보겠습니다. 그 중요성을 감안할 때, 우리는 다음 섹션에서이 연구를 수행 할 것입니다. 합계 또는 평균의 시설에 관한 Lagrange의 회고록의 마지막 부분을 간략하게 살펴 보겠습니다. 임의의 값을 가정할 가능성이 있는 오류. 이 연구는 분명히 앞서 언급한 Simpson's의 결과에 기반을 두고 있지만, 매우 기본적이고 젊은 라플라스에게 놀라운 인상을 줄 요소를 추가한 것입니다. [22], 라그랑주에 대한 라플라시안 반응.

Lagrange가 다룬 첫 번째 문제는 고전적인 점 문제입니다. 하나는 주사위를 가져 가라. 에프 각각의 등장 가능성은 동일한 일반 면입니다. 이것은 던져진다 배, 그리고 다른 던지기에서 얻은 점수 합계의 법칙을 결정합니다. 문제는 적어도 갈릴레오까지 거슬러 올라가며, 17 세기와 18 세기의 모든 과학자들이 더 크거나 더 적은 효과를 위해 씨름했던 문제입니다. 이것은 실제로 고전적인 확률 미적분의 가장 정교한 문제 중 하나입니다. 이 문제를 계기로 Nicolaus Bernoulli와 Montmort는 조합론의 기초 이론 중 하나인 체 공식(또는 포함-배제 원리)을 명확히 했습니다.

우리가 말했듯이, 점의 일반적인 문제는 1700 년대 초에 기하학에 의해 완전히 해결되었고, 그 후 초기 확률 론적 관측 이론에 적용한 Simpson에 의해 다시 해결되었습니다. 그의 회고록의 마지막 부분에서 Lagrange는 함수 생성과 동일한 방법을 사용하여 de Moivre와 Simpson의 결과를 새로 찾는 것으로 시작하지만 그의 탁월한 대 수력으로 그는 더 멀리 더 빨리 나아갈 수있었습니다. 여기서 우리는 Lagrange가 Montmort-Nicolas Bernoulli-de Moivre-Simpson-Lagrange-Laplace 등의 대체 공식으로 이어진다는 점을 제외하고는 대수 보조 정리(23번) 덕분에 특히 우아함을 가지고 수행하는 작업에 대해 아무 말도 하지 않을 것입니다.

우리는 이미이 기회에 라그랑주가 관측 이론, 즉 확률 적 미적분에서“라플라스 변환”을 도입했다고 언급했습니다. 이는 특히 오일러가 미분 방정식 이론에서 이미 사용하고있는 개념입니다. 그러나 여기서는 우리가 보게 될 중요한 응용 분야와 새로운 속성을 찾습니다.

이 개념의 도움으로 Lagrange는 문제 X (40 번)를 처리하기 시작했습니다.

가정에서 que chaque 관찰 soit sujette à toutes les erreurs possibles 포함 entre ces deux limites p et –q, et que la facilité de chaque erreur x, c'est-à-dire le nombre des cas où elle peut avoirlieu divisé par le nombre total des cas, soit représentée par une fonction quelconque de x désignée par y on demande la probabilité que l' erreur moyenne de n Observs soit includes entre les limites r et- 에스.

(각 관찰이 두 한계 내에 포함된 모든 가능한 오류의 대상이 된다고 가정합니다. 그리고 –, 그리고 각 오류의 기능 엑스, 즉 전체 경우의 수로 나눌 수 있는 경우의 수는 다음과 같은 임의의 함수로 표시됩니다. 엑스 지정 와이. n 개의 관측치의 평균 오차가 두 값 사이에 포함될 확률은 얼마입니까? 아르 자형 그리고 – 에스?).

허락하다 와이 시설이된다 엑스, 확률 밀도. Lagrange는 그것을 변환에 연관 시켰습니다 .∫당신 엑스 DX, 그는 결코 이름을 붙이지 않았지만 라플라스는 일반적으로 그의 "생성 기능"[[21], Book I]이라고 불렀습니다.

유지 보수 pour avoir la probabilité que l’ erreur moyenne de n 관찰 soit z, il faudra considérer le polynome qui est représenter par l’ intégrale de ya 엑스 dx, en supposant cette intégrale Prize de manière qu'elle s'étende depuis x = p jusqu'à x = −q, l' on élèvera ce polynôme à la puissance n, et l' on cherchera le coefficient de puissance z de a, par les règles données dans les corollaires du lemme précédent (n ° 33) ce coefficient, qui sera une fonction de z exprimera la probabilité que l'erreur moyenne soit z, comme il est facile de voir, d'après ce qui a été démontré plus haut.

(이제 평균 오차가 관찰은 , 적분으로 표현되는 다항식을 고려해야합니다. 당신 엑스 dx, 적분을 취하여 다음에서 확장한다고 가정합니다. 엑스 = ...에 엑스 = − 우리는 이 다항식을 거듭제곱합니다. 엔, 그리고 계수를 구하라 , 이전 기본형 (33 번)에 대한 추론에 주어진 규칙에 의해, 그 계수는 함수가 될 것입니다. , 평균 오차가 다음과 같을 확률을 나타냅니다. , 위에 표시된대로 쉽게 볼 수 있습니다).

이 인용문은 no의 텍스트에서 단어 하나하나를 가져왔습니다. 40은 Lagrange에 의해 현저하게 기능을 생성하는 "라플라스 변환"이라는 기본 속성을 설명합니다. 컨볼 루션을 제품으로 변환합니다. Lagrange나 Laplace는 증명을 제공하지 않았으며, Laplace는 "Fourier"라고 하는 변환의 경우 자신의 차례에 이를 사용할 것입니다. 보기 "쉽고"충분합니다. 그것은 진정한 차원을 제공하는 드 모아 브르의 방법과 분명히 연관되어 있습니다.

계수 와이() 힘의 시설입니다 의 합계 시설 관찰 와이. 모든 경우에 함수를 작성하는 것입니다. , 에프() = (∫당신 엑스 dx) , 라플라스 변환의 형태로 ∫당신 dz.

이 눈부신 라그랑주 미적분학은 라그랑주의 방법을 '아름답다'라고 부르지 만 자신의 컨볼 루션 방법으로 그것을 재 증명하기 위해 즉시 자신을 설정 한 젊은 라플라스에게 큰 인상을 남겼습니다. 각주 4

라그랑주는 다른 사건을 다뤘다. 여기에 들어가기에는 너무 길어질 것입니다. 특히 얻은 대체 공식은 예를 들어 10을 초과하고 이에 상응하는 검색은 이 공식에서는 불가능합니다.

Lagrange가 열어둔 문제는 거의 40년 동안 Laplace를 차지했습니다. 그의 솔루션은 1810년에 출판되었으며, 그 응용, 특히 Legendre와 Gauss의 최소제곱법은 "분석 확률 이론"의 정점을 구성했습니다. 그럼에도 불구하고 Laplace의 아이디어는 매우 간단합니다. = 이자형 그것 즉, 시설의 Lagrange (Laplace) 변환을 대체하는 것입니다. 와이

Laplace (Fourier) 변환으로

반전은 푸리에 급수의 반전과 유사하게 매우 간단하게 이루어집니다.그렇게함으로써 Laplace는 Lagrange에 의해 추방 된 유한에서 무한히 작은 구절을 은밀하게 재 도입했으며, 그의 방법은 푸리에의 적분 이론이 현대 함수 이론의 근본 장이 될 때까지 오랫동안 고통을 겪을 것입니다. 유한에서 무한하지만 거의 모든 곳에 대한 개념의 일반화 도입으로 의심 할 여지없이 Lagrange를 불쾌하게 만들었지 만 Laplace를 완성했습니다). 그러나 이것은 또 다른 이야기입니다.

이제 수학 통계, 즉 확률 미적분학에 의해 지배되는 통계에 대한 우리 주제의 유일한 기여인 라그랑주 회고록의 두 번째 부분으로 가자.


내용

Johannes Kepler의 법칙은 Copernicus의 모델을 개선했습니다. 행성 궤도의 이심률이 0으로 간주되면 Kepler는 기본적으로 Copernicus와 동의합니다.

  1. 행성 궤도는주기가있는 원입니다.
  2. 태양은 대략 궤도의 중심에 있습니다.
  3. 주 궤도에서 행성의 속도는 일정합니다.

코페르니쿠스와 케플러에게 알려진 행성 궤도의 편심은 작기 때문에 위의 규칙은 행성 운동의 공정한 근사치를 제공하지만 케플러의 법칙은 코페르니쿠스가 제안한 모델보다 관측에 더 잘 맞습니다. Kepler의 수정 사항은 다음과 같습니다.

  1. 행성 궤도는 아니 에피 사이클이있는 원이지만 타원.
  2. 태양은 아니 중심에 가깝지만 초점 타원형 궤도의.
  3. 궤도에 있는 행성의 선형 속도나 각속도는 일정하지 않지만 면적 속도 (각운동량의 개념과 역사적으로 밀접하게 연결되어 있음)은 일정합니다.

지구 공전궤도의 이심률로 인해 3월 춘분부터 9월 춘분까지의 시간은 약 186일이며, 9월 춘분부터 3월 춘분까지의 시간은 약 179일입니다. 지름은 궤도를 동일한 부분으로 자르지만 지구의 적도에 평행한 태양을 통과하는 평면은 186 대 179 비율의 면적으로 궤도를 두 부분으로 자르므로 지구 궤도의 이심률은 대략

정확한 값 (0.016710218)에 가깝습니다. 이 계산의 정확성을 위해 선택한 두 날짜가 타원 궤도의 단축을 따라 있고 각 절반의 중간 점이 장축을 따라야합니다. 여기에서 선택한 두 날짜는 춘분이므로 지구가 태양에 가장 가까운 날짜 인 근일점이 지점에있을 때 정확합니다. 1 월 4 일 근일점은 12 월 21 일 또는 22 일의 지점에 상당히 가깝습니다.

Kepler의 작업이 현재 공식화되기까지 거의 2세기가 걸렸습니다. 볼테르 Eléments de la Philosophie de Newton (뉴턴 철학의 요소)은 1738년에 "법률"이라는 용어를 사용한 최초의 간행물이었습니다. [1] [2] 천문학자 전기 백과사전 Kepler (p. 620)에 대한 기사에서 이러한 발견에 대한 과학 법의 용어는 적어도 Joseph de Lalande 시대부터 현재의 것으로 나타났습니다. [3] 로버트 스몰의 박람회였습니다. 케플러의 천문학적 발견에 대한 설명 (1814) 세 번째 법칙을 추가하여 세 가지 법칙을 구성했습니다. [4] Small은 또한 역사에 반하여 귀납적 추론에 기반한 경험적 법칙이라고 주장했습니다. [2] [5]

더욱이, "Kepler의 제 2 법칙"의 현재 사용은 잘못된 이름입니다. Kepler는 질적 의미에서 "거리 법칙"과 "면적 법칙"이라는 두 가지 버전이 있습니다. "지역 법칙"은 세 가지 세트에서 제 2 법칙이되었지만 케플러 자신은 그런 식으로 그것을 특권으로 삼지 않았습니다. [6]

Kepler는 1609 년에 행성 운동에 관한 그의 처음 두 가지 법칙을 발표했으며 [7] Tycho Brahe의 천문 관측을 분석하여이를 발견했습니다. [8] [9] [10] 케플러의 세 번째 법칙은 1619 년에 발표되었습니다. [11] [9] 케플러는 원형 궤도를 요구하는 태양계의 코페르니쿠스 모델을 믿었지만 브라헤의 매우 정확한 관측을 조화시킬 수 없었습니다. 화성의 궤도에 원형 맞춤 – 화성은 우연히 수성을 제외한 모든 행성 중에서 가장 높은 편심 률을 가지고 있습니다. 그의 첫 번째 법칙은 이 발견을 반영했습니다.

1621 년 케플러는 그의 세 번째 법칙이 목성의 가장 밝은 4 개의 달에 적용된다는 점에 주목했습니다. [Nb 1] Godefroy Wendelin도 1643 년에 이러한 관찰을했습니다. [Nb 2] "면적 법칙"형식의 두 번째 법칙은 1664 년의 책에서 Nicolaus Mercator에 의해 이의를 제기했지만 1670 년에는 그의 철학적 거래 유리했다. 세기가 진행됨에 따라 더 널리 받아 들여졌습니다. [13] 독일에서의 수용은 1688년 사이에 눈에 띄게 바뀌었다. Principia 출판되었고 기본적으로 Copernican으로 간주되었으며 1690 년에 Kepler에 대한 Gottfried Leibniz의 작업이 출판되었습니다. [14]

Newton은 두 번째 법칙이 중력의 역제곱 법칙에 특별하지 않으며, 그 법칙의 방사형 특성의 결과인 반면 다른 법칙은 인력의 역제곱 형태에 의존한다는 것을 이해한 것으로 인정되었습니다. Carl Runge와 Wilhelm Lenz는 나중에 각운동량의 보존이 수행하는 것처럼 뉴턴 중력의 경우 제 1 및 제 3 법칙을 설명하는 행성 운동의 위상 공간 (직교 그룹 O (4) 작용)에서 대칭 원리를 확인했습니다. 두 번째 법칙의 회전 대칭. [15]

법칙에 따른 행성 운동학의 수학적 모델은 광범위한 추가 계산을 허용합니다.

제1법칙 편집

모든 행성의 궤도는 두 초점 중 하나에 태양이있는 타원입니다.

수학적으로 타원은 다음 공식으로 나타낼 수 있습니다.

여기서 p < displaystyle p>는 반라 투스 직장이고, ε 타원의 이심률입니다. 아르 자형 태양에서 행성까지의 거리이고 θ 태양에서 보았을 때 가장 가까운 접근에서 행성의 현재 위치에 대한 각도입니다. 그래서 (아르 자형, θ)는 극좌표입니다.

타원 0 & lt ε 제한 사례에서 & lt 1 ε = 0이면 궤도는 중심에 태양이있는 원입니다 (즉, 편심이 0 인 곳).

에서 θ = 0 °, 근일점, 거리는 최소

에서 θ = 90 ° 및 θ = 270 ° 거리는 p < displaystyle p>와 같습니다.

에서 θ = 180°, 원일점, 거리는 최대입니다(정의에 따라 원일점은 – 변함없이 – 근일점 + 180°)

준 장축 사이의 산술 평균입니다 아르 자형아르 자형최대:

세미 마이너 축 사이의 기하 평균입니다 아르 자형아르 자형최대:

반라 투스 직장 사이의 조화 평균입니다 아르 자형아르 자형최대:

편심 ε 사이의 변동 계수입니다. 아르 자형아르 자형최대:

원의 특별한 경우는 ε = 0, 결과 아르 자형 = = 아르 자형 = 아르 자형최대 = = = πr 2 .

제 2 법칙

행성과 태양을 연결하는 선은 동일한 시간 간격 동안 동일한 영역을 쓸어냅니다. [16]

타원 궤도에서 행성의 궤도 반경과 각속도는 다양합니다. 이것은 애니메이션에 표시됩니다. 행성은 태양에 가까울수록 더 빠르게 이동하고 태양에서 멀어지면 더 느리게 이동합니다. 케플러의 두 번째 법칙에 따르면 청색 섹터는 일정한 면적을 가지고 있습니다.

그리고 태양 주위의 행성의 평균 운동

제 3 법칙

물체의 궤도주기의 제곱과 그 궤도의 반장 축의 입방체의 비율은 동일한 기본 궤도를 도는 모든 물체에 대해 동일합니다.

이것은 태양으로부터 행성의 거리와 그들의 궤도 주기 사이의 관계를 포착합니다.

케플러는 1619년에 [11] 이 제3법칙을 정확한 법칙에 따라 "구체의 음악"으로 본 것을 결정하고 이를 음악 표기법으로 표현하기 위한 힘든 시도에서 발표했습니다. 따라서 그것은 조화 법칙. [18]

뉴턴의 중력 법칙 (1687 년 발행)을 사용하면 구심력을 중력과 동일하게 설정하여 원형 궤도의 경우에이 관계를 찾을 수 있습니다.

그런 다음 궤도 주기로 각속도를 표현한 다음 재 배열하면 케플러의 제 3 법칙을 찾을 수 있습니다.

다음 표는 Kepler가 그의 법칙을 경험적으로 도출하기 위해 사용한 데이터를 보여줍니다.

케플러(1618)가 사용한 데이터
행성 평균 거리
태양 (AU)
기간
(일)
R 3 T 2 < textstyle < frac >>>> (10 -6 AU 3 /일 2 )
수은 0.389 87.77 7.64
금성 0.724 224.70 7.52
지구 1 365.25 7.50
화성 1.524 686.95 7.50
목성 5.20 4332.62 7.49
토성 9.510 10759.2 7.43

이 패턴을 발견 한 케플러는 다음과 같이 썼습니다. [19]

나는 처음에 내가 꿈꾸고 있다고 믿었다. 그러나 어떤 두 행성의 주기 시간 사이에 존재하는 비율이 정확히 평균 거리의 3/2승의 비율이라는 것은 절대적으로 확실하고 정확합니다.

비교를 위해 다음은 현대적인 추정치입니다.

최신 데이터 (Wolfram Alpha Knowledgebase 2018)
행성 반장 축 (AU) 기간(일) R 3 T 2 <텍스트 스타일 >>>> (10 -6 AU 3 /일 2 )
수은 0.38710 87.9693 7.496
금성 0.72333 224.7008 7.496
지구 1 365.2564 7.496
화성 1.52366 686.9796 7.495
목성 5.20336 4332.8201 7.504
토성 9.53707 10775.599 7.498
천왕성 19.1913 30687.153 7.506
해왕성 30.0690 60190.03 7.504

아이작 뉴턴은 자신의 철학자 자연주의 원리 수학 케플러의 제 1 법칙과 제 2 법칙에 따라 움직이는 행성의 가속.

  1. 그만큼 방향 가속도는 태양을 향합니다.
  2. 그만큼 크기 가속도는 태양으로부터 행성 거리의 제곱에 반비례합니다. 역 제곱 법칙).

이것은 태양이 행성 가속의 물리적 원인 일 수 있음을 의미합니다. 그러나 뉴턴은 그의 Principia 그는 힘을 물리적인 관점이 아닌 수학적 관점에서 고려함으로써 도구주의적 관점을 취한다는 것이다. 더욱이 그는 중력에 원인을 부여하지 않는다. [21]

뉴턴은 행성에 작용하는 힘을 질량과 가속도의 곱으로 정의했습니다 (뉴턴의 운동 법칙 참조). 그래서:

  1. 모든 행성은 태양을 향해 끌립니다.
  2. 행성에 작용하는 힘은 행성의 질량에 정비례하고 태양으로부터의 거리 제곱에 반비례합니다.

태양은 정당하지 않은 비대칭적인 역할을합니다. 그래서 그는 뉴턴의 우주 중력 법칙에서 다음과 같이 가정했습니다.

  1. 태양계의 모든 물체는 서로 끌어당깁니다.
  2. 두 물체 사이의 힘은 질량의 곱에 정비례하고 두 물체 사이의 거리의 제곱에 반비례합니다.

행성은 태양에 비해 질량이 작기 때문에 궤도는 대략 케플러의 법칙을 따릅니다. Newton의 모델은 Kepler의 모델을 개선하고 실제 관찰에 더 정확하게 적합합니다. (2 체 문제 참조)

아래는 케플러의 제 1 법칙과 제 2 법칙에 따라 움직이는 행성의 가속도에 대한 자세한 계산입니다.

가속 벡터 편집

위치 벡터를 두 번 미분하여 속도 벡터와 가속도 벡터를 구합니다.

어디 반경 가속도 이다

그리고 횡가속도 이다

역제곱 법칙

케플러의 두 번째 법칙은

따라서 케플러의 제 2 법칙을 따르는 행성의 가속은 태양을 향합니다.

케플러의 첫 번째 법칙에 따르면 궤도는 다음 방정식으로 설명됩니다.

시간에 따른 차별화

다시 한 번 차별화

타원 방정식을 대체하면

역 제곱 법칙은 미분 방정식입니다. 이 미분 방정식에 대한 해법에는 표시된대로 케 플레 리안 운동이 포함되지만 궤도가 쌍곡선, 포물선 또는 직선 인 운동도 포함됩니다. (케플러 궤도 참조.)

뉴턴의 중력 법칙

뉴턴의 제 2 법칙에 따르면 행성에 작용하는 중력은 다음과 같습니다.

여기서 m 행성 < displaystyle m _ < text>>는 행성의 질량이고 α 는 태양계의 모든 행성에 대해 동일한 값을 갖습니다. 뉴턴의 세 번째 법칙에 따르면, 태양은 같은 크기의 힘에 의해 행성에 끌립니다. 힘은 행성의 질량에 비례하기 때문에 대칭 적 고려 하에서, 그것은 또한 태양의 질량, m Sun < displaystyle m _ < text>>. 그래서

태양계 본체 수의 가속 나는 뉴턴의 법칙에 따르면

태양계에 지구와 태양이라는 두 개의 몸체 만있는 특수한 경우 가속도는

케플러 운동의 가속도입니다. 그래서이 지구는 케플러의 법칙에 따라 태양 주위를 움직입니다.

태양계의 두 물체가 달과 지구라면 달의 가속도는

따라서 이 근사에서 달은 케플러의 법칙에 따라 지구 주위를 움직입니다.

3체의 경우 가속도는

이러한 가속도는 케플러 궤도의 가속도가 아니며 3 체 문제는 복잡합니다. 그러나 Keplerian 근사는 섭동 계산의 기초입니다. (달 이론 참조)

케플러는 그의 첫 번째 두 법칙을 사용하여 행성의 위치를 ​​시간의 함수로 계산했습니다. 그의 방법은 케플러 방정식이라고 하는 초월 방정식의 해를 포함합니다.

태양 중심 극좌표 (아르 자형,θ) 시간의 함수로서 행성의 근일점 이후로 다음 5단계가 있습니다.

  1. 계산 움직임을 의미 = (2 π 라디안) /, 어디 기간입니다.
  2. 계산 평균 이상미디엄 = nt, 어디 위험 이후의 시간입니다.
  3. 계산 편심 이상이자형 케플러 방정식을 풀면 다음과 같습니다. M = E − ε sin ⁡ E , 여기서 ε 은 이심률입니다.
  4. 계산 진정한 변칙θ 방정식을 풀어서 : (1 − ε) tan 2 ⁡ θ 2 = (1 + ε) tan 2 ⁡ E 2 < displaystyle (1- varepsilon) tan ^ <2> < frac < theta> <2 >> = (1+ varepsilon) tan ^ <2> < frac <2>>>
  5. 계산 태양 중심 거리아르 자형: r = a (1 − ε cos ⁡ E) < displaystyle r = a (1- varepsilon cos E)>, 여기서 a < displaystyle a>는 반장 축입니다.

원형 궤도의 중요한 특별한 경우, ε = 0, 제공 θ = 이자형 = 미디엄. 균일 한 원 운동은 표준,이 동작에서 벗어난 것은 변칙.

이 절차의 증거는 다음과 같습니다.

평균 이상, 미디엄 편집하다

케 플레 리안 문제는 타원 궤도와 네 점을 가정합니다.

에스 태양 (타원의 한 초점) 근일점 타원의 중심 행성

문제는 극좌표 (아르 자형,θ)에서 행성의 근일점 이후 시간, .

단계적으로 해결됩니다. Kepler는 장축이있는 원을 지름으로 간주하고

섹터 영역은 | z s p | = b a ⋅ | z s x | . > cdot | zsx |.>

근일점 이후로 휩쓸린 지역,

근일점 이후 시간에 비례하는 케플러의 제 2 법칙에 의한 것입니다. 따라서 평균 이상, 미디엄, 근일점 이후 시간에 비례합니다. .

편심 이상, 이자형 편집하다

평균 이상이 미디엄 계산됩니다. 목표는 실제 이상을 계산하는 것입니다. θ. 함수 θ = 에프(미디엄)는 기본이 아닙니다. [23] Kepler의 해결책은

중간 변수로, 첫 번째 계산 이자형 의 기능으로 미디엄 아래 Kepler 방정식을 풀고 실제 이상을 계산합니다. θ 괴상한 변칙으로부터 이자형. 세부 사항은 다음과 같습니다.

나누기 2/2는 케플러의 방정식

이 방정식은 미디엄 의 기능으로 이자형. 결정 이자형 주어진 미디엄 역 문제이다. 반복적인 수치 알고리즘이 일반적으로 사용됩니다.

편심 이상을 계산한 후 이자형, 다음 단계는 실제 이상을 계산하는 것입니다. θ.

그러나 참고 : 타원 중심을 기준으로하는 데카르트 위치 좌표는 ( 코사인 이자형, 이자형)

태양을 기준으로 (좌표 (,0) = (ae,0) ), 아르 자형 = ( 코사인 이자형ae, 이자형)

진정한 이상은 arctan (아르 자형와이/아르 자형엑스), 크기 아르 자형아르 자형 · 아르 자형 .

진정한 이상, θ 편집하다

그림에서

결과는 편심 이상 사이의 사용 가능한 관계입니다. 이자형 그리고 진정한 변칙 θ.

계산적으로 더 편리한 형식은 삼각법 ID로 대체하는 것입니다.

1 + 곱하기 ε 결과를 준다

이것은 궤도에서 시간과 위치를 연결하는 세 번째 단계입니다.

거리, 아르 자형 편집하다

네 번째 단계는 태양 중심 거리를 계산하는 것입니다. 아르 자형 진정한 이상에서 θ 케플러의 제 1 법칙 :

위의 관계를 사용하여 θ이자형 거리에 대한 최종 방정식 아르 자형 is :


라그랑주 점의 면적 결정 - 천문학

이전 섹션에서는 ( 절대 극값을 찾았습니다) 경계를 포함하는 영역의 함수. 영역 내부에서 잠재적 인 최적 지점을 찾는 것은 일반적으로 그리 나쁘지 않습니다. 우리가해야 할 일은 중요한 지점을 찾아서 함수에 연결하는 것뿐이었습니다. 그러나 예에서 보았듯이 경계에서 잠재적인 최적점을 찾는 것은 종종 상당히 길고 복잡한 과정이었습니다.

이 섹션에서는 주어진 제약 조건에 따라 함수를 최적화하는 또 다른 방법을 살펴볼 것입니다. 제약 조건은 영역의 경계를 설명하는 방정식 일 수 있지만이 섹션에서는 이러한 유형의 문제에 집중하지 않습니다. 온.

이제 설정을 시작하겠습니다. 우리는 최적화하기를 원합니다( 함수의 최소값과 최대 값을 찾으십시오. (f left ( right) ), 제약 조건 (g left ( 오른쪽) = k ).다시 말하지만, 제약은 영역의 경계를 설명하는 방정식 일 수도 있고 그렇지 않을 수도 있습니다. 작업이 때때로 다소 압도적 일 수 있지만 프로세스는 실제로 매우 간단합니다.

라그랑주 승수 방법

  1. 다음 연립 방정식을 풉니 다. [ 시작 nabla f left ( 오른쪽) & = lambda , , nabla g left ( 오른쪽) g left ( 오른쪽) & = k end]
  2. 모든 솔루션, ( left ( right) ), 첫 번째 단계에서 (f left ( right) ) 최소값과 최대 값이 존재하고 해당 지점에서 ( nabla g ne vec <0> )를 식별합니다.

상수 ( lambda )는 라그랑주 승수.

방법의 방정식 시스템에는 실제로 네 개의 방정식이 있습니다. 우리는 시스템을 더 간단한 형식으로 작성했습니다. 이것을보기 위해 첫 번째 방정식을 가져 와서 우리가 얻는 것을보기 위해 그래디언트 벡터의 정의를 입력합니다.

[ left langle <,,> 오른쪽 rangle = lambda left langle <,,> 오른쪽 rangle = left langle < lambda , lambda , lambda > 오른쪽 rangle ]

이 두 벡터가 같으려면 개별 구성 요소도 같아야합니다. 그래서 우리는 실제로 여기에 세 개의 방정식이 있습니다.

제약 조건과 함께이 세 가지 방정식 (g left ( right) = c ), 네 개의 미지수 (x ), (y ), (z ) 및 ( lambda )가있는 네 개의 방정식을 제공하십시오.

또한 두 변수의 함수 만 있으면 그래디언트의 세 번째 구성 요소가 없으므로 세 개의 미지수 (x ), (y ) 및 (에 세 개의 방정식 만 포함됩니다. 람다 ).

마지막으로 우리는 또한 어떤 경우에는 최소값과 최대 값이 존재 함을 암시하는 것처럼 보이지만 존재하지 않을 수도 있다는 사실에주의해야합니다. 모든 문제에서 문제를 시작하기 전에 최소값과 최대 값이 존재하는지 확인해야합니다.

위의 공식에 대한 물리적 정당성을 보려면. (f left ()의 최소값과 최대 값을 고려해 보겠습니다. 오른쪽) = 8 -2y ) 제약 조건 ( + = 1 ). 이 섹션의 실습 문제 (정확한 문제 # 2)에서 (f left ( right) )는 -2이며 ( left (<0,1> right) ) 및 (f left ( right) )는 8.125로 ( left (<- frac << 3 sqrt 7 >> <8>,- frac <1> <8 >> right) ) 및 ( 왼쪽 (< frac << 3 sqrt 7 >> <8>,- frac <1> <8 >> right) ).

다음은 구속 조건의 스케치와 (f left ( (k )의 다양한 값에 대해 right) = k ).

먼저 시스템에 대한 솔루션은 제약 조건의 그래프 어딘가에 있어야합니다. ( + = 1 )입니다. (f left ()의 최소 / 최대 값을 찾고 있기 때문에 right) ) 이것은 차례로 (f left ()의 최소 / 최대 값의 위치를 ​​의미합니다. 권리)), 포인트 ( left ( right) ), (f left ( right) = k )는 (k )가 (f left ()의 최소값 또는 최대 값일 때 제약 조건의 그래프와 교차합니다. 권리)).

이제 우리는 (f left ( 오른쪽) =-2 ), 최소값 (f left ( right) ), ( left (<0,1> right) )에있는 제약의 그래프를 터치합니다. 실제로 그 지점에서 두 그래프는 접합니다.

두 그래프가 해당 지점에서 접하면 법선 벡터는 평행해야합니다. 두 법선 벡터는 서로의 스칼라 배수 여야합니다. 수학적으로 이것은

[ nabla f left ( right) = lambda , , nabla g left ( 권리)]

일부 스칼라 ( lambda )의 경우 이것은 정확히 우리가 방법에서 풀어야하는 시스템의 첫 번째 방정식입니다.

또한 (k )가 (f left ()의 최소값보다 작 으면 right) ) (f left ( right) = k )는 제약 조건의 그래프와 교차하지 않으므로 함수가 제약 조건을 충족 할 지점에서 (k ) 값을 사용할 수 없습니다.

마찬가지로, (k )가 (f left ()의 최소값보다 큰 경우 right) ) (f left ( right) = k )는 제약 조건의 그래프와 교차하지만 두 그래프는 교차점에서 접하지 않습니다. 이것은 우리가 연립 방정식을 풀 때 방법이 교차점을 찾지 못한다는 것을 의미합니다.

다음으로, 아래 그래프는 (k )의 다른 값 세트를 보여줍니다. 이 경우 (k ) 값에는 (f left ( right) )뿐만 아니라 최대 값의 양쪽에 몇 가지 값이 있습니다.

다시, 우리는 (f left ( right) = 8.125 ) 두 지점에서 제약 조건의 그래프를 터치합니다. 이것은 솔루션이 두 지점에서 발생해야한다고 말하는 것을 알고 있기 때문에 좋은 것입니다. 또한 그 지점에서 (f left ( right) = 8.125 ) 제약 조건이 접하고 있으므로 최소값과 마찬가지로 법선 벡터는이 점에서 평행해야합니다.

마찬가지로, 8.125보다 큰 (k ) 값의 경우 (f left ( right) = k )는 제약 조건의 그래프와 교차하지 않으므로 (f left ( right) ) 제약 조건에있는 지점에서 더 큰 값을 가져옵니다.

또한 (k ) 값이 8.125보다 작은 경우 (f left ( right) = k )는 구속 조건의 그래프를 교차하지만 교차점에서 접하지 않으므로 방정식 시스템을 풀 때이 교차점을 생성하지 않습니다.

따라서이 그래프를 통해 (f left ()의 최소 / 최대 값을 확인했습니다. right) )는 (f left ( right) = k ) 제약 조건의 그래프는 탄젠트이므로 법선 벡터는 평행합니다. 또한 점은 제약 자체에서 발생해야하기 때문입니다. 즉, (f left ()의 최소 / 최대 값을 결정하기 위해 풀어야하는 방정식 시스템 right) )는 우리가 방법을 도입했을 때 위에 주어진 것과 정확히 일치합니다.

위의 물리적 자리 맞추기는 2 차원 시스템에 대해 수행되었지만 동일한 자리 맞추기가 더 높은 차원에서 수행 될 수 있습니다. 차이점은 더 높은 차원에서는 곡선으로 작업하지 않는다는 것입니다. 예를 들어, 3 차원에서 우리는 표면으로 작업 할 것입니다. 그러나 동일한 아이디어는 여전히 유효합니다. 표면의 최소값과 최대 값을 제공하는 점에서 평행하고 법선 벡터도 평행합니다.

몇 가지 예를 살펴 보겠습니다.

여기서 프로세스를 시작하기 전에 미적분학 I에서 이런 종류의 문제를 해결하는 방법을 보았습니다. 단, 상자의 한면을 다른면에 연결하여 아래로 내려갈 수있는 조건이 필요했습니다. 두 개의 변수 만 포함하는 체적 및 표면적 함수에. 이러한 문제에 대해 더 이상이 조건이 필요하지 않습니다.

이제 문제를 해결해 보겠습니다. 먼저 최적화 할 기능과 제약 조건을 식별해야합니다. 상자의 길이를 (x )로, 상자의 너비를 (y )로, 상자의 높이를 (z )로 설정하겠습니다. 또한 상자의 크기를 다루기 때문에 (x ), (y ) 및 (z )가 모두 양수라고 가정하는 것이 안전합니다.

가장 큰 볼륨을 찾고 싶으므로 최적화하려는 함수는 다음과 같이 지정됩니다.

다음으로 상자의 표면적은 상수 64 여야한다는 것을 알고 있습니다. 이것이 제약입니다. 상자의 표면적은 단순히 각 측면의 면적의 합계이므로 제약 조건은 다음과 같습니다.

[2xy + 2xz + 2yz = 64 hspace <0.5in> Rightarrow hspace <0.5in> xy + xz + yz = 32 ]

방정식을 약간 단순화하기 위해 제약 조건을 2로 나누었습니다. 또한 (g left ( right) ) 여기에서.

함수 자체, (f left ( right) = xyz )는 변수에 약간의 제한을 두지 않는 한 최소값도 최대 값도 분명하지 않습니다. 우리가 가진 유일한 제한은 모든 변수가 양수 여야한다는 것입니다. 물론 이것은 즉시 함수에 최소값, 0이 있음을 의미합니다. 비록 이것이 어리석은 값이지만 상자가 거의 없다는 것을 의미하기도합니다. 그러나 그것은 우리가 (f left ( right) ) 존재합니다.

이제 (f left ( right) )는 최대 값을 갖습니다. 분명히, 바라건대, (f left ( right) ) 모든 변수가 제한없이 증가 할 수있는 경우 최대 값이 없습니다. 하지만 제약 때문에 일어날 수 없습니다.

여기서 우리는 세 개의 양수의 합을 얻었고 (우리가 상자로 작업하기 때문에 (x ), (y ), (z )는 양수임을 기억하십시오) 합은 32와 같아야합니다. 따라서 변수 중 하나가 (x )와 같이 매우 커지면 각 제품이 32보다 작아야하기 때문에 (y )와 (z ) 모두 첫 번째 값을 확인하기 위해 매우 작아야합니다. 두 항은 32보다 작습니다. 따라서 모든 변수가 제한없이 증가 할 수있는 방법이 없으므로 함수 (f left ( right) = xyz ), 최대 값을 갖습니다.

이것은 (f left ( right) )는 최대 값을 가지지 만 (f left ( right) ) 제약 조건이 적용되는 한 최대 값을 가져야합니다.

풀어야 할 네 가지 방정식이 있습니다.

이 시스템을 해결하는 방법에는 여러 가지가 있습니다. 다음과 같은 방법으로 해결하겠습니다. 방정식 ( eqref) by (x ), 방정식 ( eqref) (y ) 및 방정식 ( eqref) by (z ). 이것은 준다,

이제 방정식 ( eqref) 및 ( eqref) 동일합니다. 이렇게하면

[ 시작 lambda x left ( 오른쪽) & = lambda y left ( 오른쪽) lambda left ( 오른쪽)- lambda left ( 오른쪽) & = 0 lambda left ( 오른쪽) & = 0 hspace <0.5in> Rightarrow hspace <0.5in> lambda = 0 , , , , , , < mbox> , , , , , xz = yz end]

이것은 두 가지 가능성을 제공했습니다. 첫 번째, ( lambda = 0 )은 이것이 케이스 방정식 ( eqref)는

우리는 상자의 크기에 대해 이야기하고 있기 때문에 둘 중 어느 것도 가능하지 않으므로 ( lambda = 0 )을 할인 할 수 있습니다. 이것은 두 번째 가능성을 남깁니다.

(z ne 0 ) (다시 우리는 상자의 크기에 대해 이야기하고 있기 때문에)를 알고 있으므로 양쪽에서 (z )를 취소 할 수 있습니다. 이것은 준다,

다음으로 방정식을 설정해 보겠습니다. ( eqref) 및 ( eqref) 동일합니다. 이렇게하면

[ 시작 lambda y left ( 오른쪽) & = lambda z left ( 오른쪽) lambda left ( 오른쪽) & = 0 lambda left ( 오른쪽) & = 0 hspace <0.5in> Rightarrow hspace <0.5in> lambda = 0 , , , < mbox> , , , , yx = zx end]

이미 논의했듯이 ( lambda = 0 )이 작동하지 않으므로

우리는 상자의 크기를 다루기 때문에 (x ne 0 )라고 말할 수 있습니다.

방정식 연결 ( eqref) 및 ( eqref) 방정식 ( eqref) 우리는 얻는다,

그러나 우리는 상자의 크기에 대해 이야기하고 있기 때문에 (y )가 양수 여야한다는 것을 알고 있습니다. 따라서 여기서 물리적으로 이해되는 유일한 해결책은

그래서 큐브가있는 것 같습니다.

여기서 조금 조심해야합니다. 솔루션이 하나뿐이기 때문에 이것이 가장 큰 볼륨을 제공 할 차원이라고 가정하고 싶을 수 있습니다. 단일 솔루션을 얻을 때마다 그것이 최대인지 (또는 우리가 찾고있는 것이 최소인지) 확인해야합니다.

이것은 실제로 매우 간단합니다. 먼저 위 솔루션의 볼륨이

이제 우리는 최대 (f left ( right) )가 존재할 것입니다 (솔루션의 앞부분에서 "증명"됨). 따라서 이것이 제약 조건을 충족하는 다른 차원 집합을 찾고 볼륨을 확인하는 경우 수행해야하는 모든 것이 실제로 최대인지 확인합니다. 이 새로운 차원 집합의 부피가 위의 부피보다 작 으면 솔루션이 최대 값을 제공한다는 것을 압니다.

반면에 새로운 차원 집합이 더 큰 볼륨을 제공하면 문제가 있습니다. 우리는 단 하나의 솔루션만을 가지고 있으며 최대 값이 존재하고 방법이 최대 값을 생성해야한다는 것을 알고 있습니다. 따라서이 경우 가능한 문제는 어딘가에서 실수를했을 것이고 돌아가서 찾아야한다는 것입니다.

이제 상자의 새로운 치수 세트를 찾아 보겠습니다. 우리가 걱정해야 할 유일한 것은 그들이 제약을 충족시킬 것이라는 것입니다. 그 외에 치수의 크기에 대한 다른 제약은 없습니다. 따라서 두 개의 값을 자유롭게 선택한 다음 제약 조건을 사용하여 세 번째 값을 결정할 수 있습니다.

(x = y = 1 )을 선택하겠습니다. 이러한 값은 작업하기 "쉬운"것 외에는 이유가 없습니다. 이를 제약 조건에 연결하면

[1 + z + z = 32 hspace <0.25in> to hspace <0.25in> 2z = 31 hspace <0.25in> to hspace <0.25in> z = frac << 31 >> < 2> ]

따라서 이것은 제약 조건을 충족하는 차원 집합이고이 차원 집합의 부피는 다음과 같습니다.

따라서 새로운 차원은 더 작은 부피를 제공하므로 위의 솔루션은 실제로 상자의 최대 부피를 제공하는 차원은 (x = y = z = , 3.266 )입니다.

위의 예에서 ( lambda )에 대한 값을 실제로 찾지 못했습니다. 이것은 이러한 종류의 문제에 대해 상당히 표준입니다. ( lambda )의 값은 포인트가 최대인지 최소인지 결정하는 데 실제로 중요하지 않으므로 종종 값을 찾는 데 신경 쓰지 않을 것입니다. 때때로 우리는 시스템을 해결하기 위해 그 가치가 필요할 것입니다. 그러나 그러한 경우에도 우리는 요점을 찾기 전에 그것을 사용하지 않을 것입니다.

이것은 두 개의 변수 만 있기 때문에 이전 것보다 조금 더 쉬울 것입니다. 또한 가능한 솔루션의 영역이 폐쇄 및 경계 영역 인 반경 ( sqrt <136> ) 디스크에 있다는 제약 조건에서 분명합니다. (- sqrt <136> le x, y le sqrt <136> ), 따라서 극한값 정리에 의해 우리는 최소값과 최대 값이 존재해야한다는 것을 압니다.

여기 우리가 해결해야 할 시스템이 있습니다.

[ 시작5 & ​​= 2 lambda x -3 & = 2 lambda y + & = 136 끝]

마지막 예와 마찬가지로 처음 두 방정식을 만족하지 않기 때문에 ( lambda = 0 )을 사용할 수 없습니다. 따라서 우리는 ( lambda ne 0 )을 알고 있기 때문에 각각 (x )와 (y )에 대한 처음 두 방정식을 풀 수 있습니다. 이것은 준다,

이를 제약 조건에 연결하면

( lambda )에 대해이 문제를 해결할 수 있습니다.

이제 ( lambda )를 알고 있으므로 잠재적 인 최대 값 및 / 또는 최소값이 될 포인트를 찾을 수 있습니다.

( lambda = frac <1> <4> )이면,

최대 값 또는 최소값이 있는지 확인하려면이를 함수에 연결하기 만하면됩니다. 또한이 솔루션의 시작 부분에있는 토론에서 극한값 정리가이 문제에 대해 최소값과 최대 값이 존재한다고 알려주기 때문에 이것이 최소값과 최대 값이라는 것을 알고 있음을 기억하십시오.

다음은 함수의 최소값과 최대 값입니다.

처음 두 예에서는 물리적 이유로 또는 하나 이상의 방정식을 풀 수 없기 때문에 ( lambda = 0 )을 제외했습니다. 항상 이런 일이 일어날 것이라고 기대하지는 마십시오. 경우에 따라 ( lambda ) 값을 자동으로 제외 할 수 있지만 그렇지 않은 경우도 있습니다.

다른 예를 살펴 보겠습니다.

먼저 제약 조건은 3 개의 양수 또는 0 수의 합이며 1이어야합니다. 따라서 솔루션이 (0 le x, y, z le 1 ) 범위에 속한다는 것이 분명합니다. 솔루션은 폐쇄되고 경계가있는 영역에 있어야하므로 극한값 정리에 의해 최소값과 최대 값이 존재해야 함을 알고 있습니다.

여기 우리가 풀어야 할 방정식 시스템이 있습니다.

처음 세 개의 방정식이 모두 ( lambda )를 갖기 때문에 모두 동일하다는 점을 인식하여이 솔루션 프로세스를 시작하겠습니다. 그럼 먼저 방정식 ( eqref) 및 ( eqref) 동일합니다.

여기에 두 가지 가능성이 있습니다. (z = 0 )을 가정하여 시작하겠습니다. 이 경우 방정식 ( eqref) 또는 ( eqref) 그러면 ( lambda = 0 )이 있어야합니다. 방정식 ( eqref) 이것은 (xy = 0 )을 의미합니다. 이것은 차례로 (x = 0 ) 또는 (y = 0 )을 의미합니다.

따라서 여기서 처리 할 수있는 두 가지 사례가 있습니다. 각 경우에 두 개의 변수는 0이어야합니다. 이것을 알고 나면 제약 조건에 연결할 수 있습니다. 방정식 ( eqref), 나머지 값을 찾습니다.

[ 시작z = 0, , , x = 0 & : & Rightarrow hspace <0.25in> y = 1 z = 0, , , y = 0 & : & Rightarrow hspace <0.25in> x = 1 끝]

따라서 두 가지 가능한 솔루션 ( left (<0,1,0> right) ) 및 ( left (<1,0,0> right) )가 있습니다.

이제 돌아가서 다른 가능성 인 (y = x )를 살펴 보겠습니다. 여기서도 살펴볼 수있는 두 가지 사례가 있습니다.

이 첫 번째 경우는 (x = y = 0 )입니다. 이 경우 제약 조건에서 (z = 1 )을 가져야한다는 것을 알 수 있으므로 이제 세 번째 솔루션 ( left (<0,0,1> right) )가 있습니다.

두 번째 경우는 (x = y ne 0 )입니다. 방정식을 설정합시다 ( eqref) 및 ( eqref) 동일합니다.

이제 우리는 이미 (x ne 0 )를 가정 했으므로 유일한 가능성은 (z = y )입니다. 그러나 이것은 또한

제약 조건에서 이것을 사용하면

따라서 다음 솔루션은 ( left (< frac <1> <3>, frac <1> <3>, frac <1> <3 >> right) )입니다.

처음 두 방정식을 동일하게 설정하여 네 가지 솔루션을 얻었습니다.

이 문제를 완전히 해결하려면 방정식 ( eqref) 및 ( eqref) 동일하고 설정 방정식 ( eqref) 및 ( eqref) 우리가 얻는 것을 보는 것과 같습니다. 이렇게하면

이 두 가지 모두 우리가 살펴본 첫 번째 상황과 매우 유사하며 이러한 각각의 경우에 우리가 이미 찾은 네 가지 솔루션에 다시 도달한다는 것을 보여주기 위해 여러분에게 맡길 것입니다.

따라서 최소값 또는 최대값이 있는지 확인하기 위해 함수를 확인해야 하는 네 가지 솔루션이 있습니다.

따라서 이 경우 최대값은 한 번만 발생하고 최소값은 세 번 발생합니다.

또한 문제에 대한 실제 솔루션에서 (x,y,z ge 0)라는 가정을 실제로 사용하지 않았다는 점에 유의하십시오. 우리는 그것을 사용하여 우리가 절대 극값을 가질 것임을 보장하기 위해 폐쇄되고 경계가 있는 영역이 있는지 확인했습니다. 이것이 왜 중요한지 알아보기 위해 이 가정 없이 어떤 일이 일어날 수 있는지 살펴보겠습니다. 예를 들어.

이 예제를 통해 더 크고 더 작은 함수 값을 제공하는 포인트를 찾는 것이 그리 어렵지 않다는 것을 분명히 알 수 있습니다. 그러나 이러한 모든 예에서는 제약 조건을 충족하는지 확인하기 위해 (x), (y) 및/또는 (z)의 음수 값이 필요했습니다. 이것들을 제거함으로써 우리는 극단값 정리에 의해 최소값과 최대값이 있다는 것을 알게 될 것입니다.

계속 진행하기 전에 마지막 예에서 라그랑주 승수 방법에 대해 설명하는 빠른 문제를 해결해야 합니다. 함수의 절대 최소값과 최대값을 찾았습니다. 그러나 우리가 찾지 못한 것은 절대 최소값에 대한 모든 위치입니다. 예를 들어 (x, y, z ge 0 )이라고 가정하면 다음과 같은 점 집합을 고려하십시오.

이 점 세트의 모든 점은 문제의 제약 조건을 충족하고 모든 경우에 함수는 0으로 평가되므로 절대 최소값도 제공합니다.

무슨 일이야? 이전 섹션에서 임계점과 경계를 모두 확인하여 절대 극값이 있는지 확인해야 했던 것을 상기하십시오. 미적분학 I에서도 마찬가지였습니다. 절대 극값이 있는지 확인하기 위해 구간의 임계점과 끝점을 모두 확인해야 했습니다.

절대 극값의 모든 위치를 찾았는지 알고 싶다면 여기서도 같은 작업을 수행해야 합니다. 라그랑주 승수의 방법은 절대 극값을 찾을 것입니다. 방법이 변수 범위의 끝점을 고려하지 않기 때문에 모든 위치를 찾지 못할 수도 있습니다. t 보장).

따라서 Lagrange Multiplier 방법을 살펴본 후 변수 범위의 끝점에서 어떤 일이 발생하는지 물어봐야합니다. (x=0), (y=0), (z=0), (x=1), (y=1), 및 (z=1). 처음 세 가지 경우에 우리는 절대 최소값을 제공하기 위해 발생하는 위에 나열된 포인트를 얻습니다. 나중의 세 가지 경우에 대해 우리는 변수 중 하나가 1이면 다른 두 개는 0이어야 하며(제약 조건을 충족하기 위해) 그것들이 실제로 예제에서 발견되었음을 알 수 있습니다. 때로는 그렇게 될 것이고 때로는 그렇지 않을 것입니다.

이 예의 경우 각 변수 범위의 끝점은 절대 극값을 제공했지만 매번 발생할 것으로 예상할 이유는 없습니다. 예를 들어 위의 예 2에서 변수 범위의 끝점은 절대 극값을 제공하지 않습니다(이를 확인하도록 하겠습니다).

이것의 교훈은 특정 문제에 대한 절대 극값의 모든 위치가 있다는 것을 알고 싶다면 우리가 가질 수 있는 모든 변수 범위의 끝점도 확인해야 한다는 것입니다. 우리가 관심 있는 모든 것이 절대 극값의 값이면 이를 수행할 이유가 없습니다.

자, 이제 조금 다른 주제로 넘어갈 시간입니다. 지금까지 우리는 방정식 인 제약 만 살펴 보았습니다. 우리는 또한 불평등이라는 제약을 가질 수 있습니다. 이러한 유형의 문제에 대한 프로세스는 이 섹션에서 지금까지 수행한 작업과 거의 동일합니다. 두 가지 문제 유형의 주요 차이점은 제약 조건에서 부등식을 충족하는 모든 임계점을 찾아서 라그랑주 승수를 사용하여 찾은 값을 확인할 때 함수에서이를 확인해야한다는 것입니다.

이러한 종류의 문제가 어떻게 작동하는지 보기 위해 예를 들어 보겠습니다.

여기서 제약 조건은 디스크의 부등식입니다. 이것은 폐쇄적이고 경계가 있는 영역이기 때문에 극단값 정리는 최소값과 최대값이 반드시 존재해야 한다고 말합니다.

첫 번째 단계는 디스크( 제약 조건을 충족). 이것은 이 문제를 해결하기에 충분히 쉽습니다. 다음은 두 개의 1차 편도함수입니다.

[ 시작 & = 8x & & Rightarrow hspace<0.25in>,,,8x = 0hspace <0.25in>Rightarrow hspace<0.25in>,,,,,,x = 0 & = 20y & & Rightarrow hspace<0.25in>20y = 0hspace <0.25in>Rightarrow hspace<0.25in>,,,,,,y = 0end]

따라서 유일한 임계점은 (left( <0,0> ight)) 이며 부등식을 충족합니다.

이 시점에서 우리는 Lagrange Multipliers로 진행하고 제약 조건을 부등식 대신 등식으로 취급합니다. 임계점을 찾을 때 부등식을 처리하기만 하면 됩니다.

그래서, 여기에 우리가 풀어야 할 방정식 시스템이 있습니다.

[시작8x & = 2 lambda x 20y & = 2 lambda y + & = 4끝]

우리가 얻는 첫 번째 방정식에서,

(x = 0 )이면 제약 조건은 (y = pm , 2 )를 제공합니다.

(lambda = 4)가 있는 경우 두 번째 방정식은 다음을 제공합니다.

[20y = 8yhspace <0.25in>오른쪽 화살표 hspace<0.25in>,,,y = 0]

그런 다음 제약 조건은 (x = pm , 2 )를 알려줍니다.

두 번째 방정식에 대해 유사한 분석을 수행했다면 동일한 지점에 도달했을 것입니다.

따라서 Lagrange Multipliers는 다음과 같은 네 가지 확인 사항을 제공합니다. (left( <0,2> ight)), (left( <0, - 2> ight)), (left( < 2,0> ight)) 및 (left( < - 2,0> ight)).

최대값과 최소값을 찾으려면 이 4개 점을 함수의 임계점과 함께 연결하기만 하면 됩니다.

이 경우 최소값은 디스크 내부에 있고 최대값은 디스크 경계에 있습니다.

이 섹션에서 논의해야 할 마지막 주제는 하나 이상의 제약 조건이 있는 경우 수행할 작업입니다. 두 가지 제약 만 살펴 보 겠지만 자연스럽게 여기에서 작업을 두 가지 이상의 제약으로 확장 할 수 있습니다.

(fleft( ight)) 제약 조건이 적용됨 (gleft( right) = c ) 및 (h left ( 오른쪽) = k ). 이 경우 해결해야 할 시스템은

[시작 abla fleft( ight) & = lambda abla gleft( ight) + mu abla hleft( 오른쪽) g왼쪽( 오른쪽) & = c hleft( ight) & = kend]

따라서 이 경우 두 개의 라그랑주 승수를 얻습니다. 또한 첫 번째 방정식은 이전 예에서 본 것처럼 실제로 세 개의 방정식입니다. 이러한 종류의 최적화 문제의 예를 살펴보겠습니다.

여기서 최소값과 최대값을 확인하는 것은 조금 더 까다롭습니다. 분명히, 두 번째 제약 때문에 우리는 ( - 1 le x,y le 1)를 가져야 합니다. 이를 염두에 두고 첫 번째 제약 조건이 충족되도록 하려면 (z)에 대한 제한 집합도 있어야 합니다. 그 범위를 결정하고 싶다면 (2x - y) 의 최소값과 최대값을 찾을 수 있습니다. + = 1)이고 이를 사용하여 (z)의 최소값과 최대값을 결정할 수 있습니다. 여기서는하지 않습니다. 요점은 다시 한 번 가능한 솔루션이 닫힌 경계 영역에 있어야 하므로 극단값 정리에 의해 최소값과 최대값이 존재해야 한다는 것을 인정하는 것입니다.

여기 우리가 풀어야 할 방정식 시스템이 있습니다.

먼저 방정식 ( eqref) (lambda = 2)를 얻습니다. 이것을 방정식 (eqref) 및 방정식 (eqref) 및 (x) 및 (y)에 대한 풀이는 각각 다음을 제공합니다.

[시작0 & = 4 + 2mu x & hspace <0.1in>& Rightarrow hspace<0.5in>x = - frac<2> 4 & = - 2 + 2mu y & hspace <0.1in>& Rightarrow hspace<0.5in>y = frac<3>end]

이제 이것들을 방정식 (eqref).

자, 여기서 살펴봐야 할 두 가지 경우가 있습니다. 먼저 ( mu = sqrt <13> ) 일 때 무엇을 얻을 수 있는지 살펴 보겠습니다. 이 경우 우리는 알고 있습니다.

이것을 방정식 (eqref에 대입하면) 제공,

이제 (mu = - sqrt <13>)를 취하면 무엇을 얻을 수 있는지 봅시다. 여기서 우리는,

이것을 방정식 (eqref에 대입하면) 제공,

두 번째 솔루션이 있습니다.

이제 함수의 두 해를 확인하여 어느 것이 최대이고 어느 것이 최소인지 확인하기만 하면 됩니다.


라이브러리

저희 편집자는 귀하가 제출한 내용을 검토하고 기사 수정 여부를 결정할 것입니다.

라이브러리, 천문학에서 달과 같은 위성의 겉보기 또는 실제 진동으로, 그 표면은 결과적으로 주체의 한 지점에서 다른 각도에서 다른 각도에서 볼 수 있습니다.

달의 위도 해방은 그 축이 지구 주위를 도는 평면에 비해 약간 기울어 져 있기 때문에 발생합니다. 달이 궤도를 이동할 때 달의 북극과 남극이 지구를 향해 약간 기울어지면서 분명히 번갈아 가며 나타납니다. 달의 종방향 libration(뒤로 선회, "머리 흔드는" 동작)은 (케플러의 두 번째 법칙에 따라) 궤도의 다른 지점에서 약간 다른 속도로 움직이기 때문에 발생합니다.

이러한 작은 현상을 통해 달 표면의 약 59%를 지구에서 볼 수 있지만 항상 지구와 거의 같은 면을 볼 수 있습니다.