천문학

목성의 총 회전 각운동량 추정치는?

목성의 총 회전 각운동량 추정치는?



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목성의 총 회전 각운동량을 약 7E+38kg m^2/s로 추정하는 빠른 답변을 작성했습니다. 그러나 소스 중 하나는 균일 한 밀도를 가정하여이 숫자를 얻고 다른 두 소스는 6.9E + 38kg m ^ 2 / s를 인용하지만 이것이 어디에서 오는지 명확하지 않기 때문에 나를 괴롭 힙니다.

목성 밀도 분포에 대해 합리적인 모델을 사용하는 더 나은 추정치가 있습니까?

최신 정보: 밀도 분포의 불확실성 및 / 또는 최근에 읽은 회전 속도 (예 : 비 강체 회전)의 기울기로 인해 대답 할 수없는 경우 더 나은 값을 사용할 수없는 이유에 대한 설명이 허용되는 대답이 될 것입니다. .


더 나은 추정은 a의 관성 모멘트를 사용하는 것입니다. $n=3/2$ (완전한 대류) polytrope는 목성과 같은 물체가 내부에서 전자 축퇴에 접근하더라도 좋은 근사치가 될 것입니다. 당신은 이것을 볼 수 있으며 그것은 $ I = kMR ^ 2 $, 와 $ k = 0.205 $ (질량이 중심쪽으로 집중되기 때문에 균일한 구보다 거의 정확히 2배 작음).

질량을 사용한다면 $ M $$ 1.898 times 10 ^ {27} $ kg, 목성의 적도 반경 ($R=71500$ km) 및 자기권에서 결정된 회전 속도($P= 9.93$ 시간), 각운동량($2pi I/P$)은 $ 3.496 times 10 ^ {38} $ kg · m$^2$ 에스$^{-1}$.

대신 체적 평균 반경을 사용합니다. $ R = 69900 $ km, 이것은 감소 $3.34 imes 10^{38}$ kg·m$^2$ 에스$^{-1}$.

이 간단한 접근 방식은 더 복잡한 목성의 상태 방정식을 무시하고, 비 구형이며 단단한 코어의 존재 가능성을 무시합니다. 중력장의 측정 된 고조파에 의해 제공되는 제약 조건과 함께이를 고려합니다. $ J_2 $$ J_4 $, 주도 Helled et al. (2011) $ k = 0.264 $, 불확실성이 1 % 미만입니다. 평균 반경과 결합하여 다음을 제공합니다. $4.30 imes 10^{38}$ kg·m$^2$ 에스$^{-1}$.

Ni (2018)의 최근 작업에서는 Juno 측정의 중력 고조파를 개선하고 더 정교한 내부 모델을 제안했습니다. $k=0.274$ 0.5 % 불확실성.


11장 복습

마찰이없는 경사면에서 정지 상태에서 풀린 둥근 물체가 구르는 동작을 할 수 있습니까?

반경의 원통형 캔 아르 자형 미끄러지지 않고 수평면을 가로 지르고 있습니다. (a) 깡통을 한 바퀴 완전히 돌린 후 무게 중심이 이동한 거리는 얼마입니까? (b) 미끄러짐이 발생하면이 거리가 더 커지거나 작아 지나요?

경사면 위에서 휠이 해제됩니다. 경사가 가파르거나 완만하게 기울어 진 경우 휠이 미끄러질 가능성이 가장 높습니까?

어느 것이 경사면, 속이 빈 원통 또는 단단한 구를 빠르게 굴러 내려 갈까요? 둘 다 같은 질량과 반지름을 가지고 있습니다.

동일한 반경과 질량의 속이 빈 구와 속이 빈 원통은 미끄러짐없이 경사를 감고 동일한 초기 질량 중심 속도를 갖습니다. 어떤 물체가 멈추기 전에 더 높은 높이에 도달합니까?

11.2 각운동량

먼저 참조 점을 정의하지 않고 각운동량을 입자에 할당 할 수 있습니까?

직선으로 이동하는 입자의 경우 각운동량이 0인 점이 있습니까? 선이 원점과 교차한다고 가정합니다.

강체는 어떤 조건에서 각운동량은 있지만 선형운동량은 없는가?

입자가 선택한 원점을 기준으로 이동하는 경우 선형 운동량이 있습니다. 이 입자의 각운동량이 선택한 원점에 대해 0이 되려면 어떤 조건이 있어야합니까?

입자의 속도를 안다면 입자의 각운동량에 대해 말할 수 있습니까?

11.3 각운동량 보존

대형 프로펠러에 수직인 평면에서 회전하는 헬리콥터 뒤에 있는 소형 프로펠러의 목적은 무엇입니까?

어린이가 회전하는 회전 목마의 바깥 쪽 가장자리에서 안쪽으로 걸어 간다고 가정합니다. 회전목마의 각속도는 증가, 감소 또는 동일하게 유지됩니까? 당신의 대답을 설명하십시오. 회전목마가 마찰 없이 회전한다고 가정합니다.

밧줄로 묶인 공이 기둥 주위를 감을 때 공의 각속도는 어떻게 됩니까?

극지방의 빙상이 자유로 워져 녹지 않고 지구의 적도를 향해 떠 있다고 가정합니다. 지구의 각속도는 어떻게 될까요?

별이 붕괴할 때 왜 더 빨리 회전하는지 설명하십시오.

경쟁적인 다이버들은 팔다리를 당기고 뒤집을 때 몸을 구부립니다. 물에 들어가기 직전에 팔다리를 완전히 펴서 똑바로 내려갑니다(아래 참조). 두 동작이 각속도에 미치는 영향을 설명하십시오. 또한 각운동량에 대한 영향을 설명하십시오.

11.4 자이로 스코프의 세차

공간의 방향을 표시하기 위해 유도 시스템에 사용되는 자이로스코프는 방향이 변하지 않는 각운동량을 가져야 합니다. 차량에 배치 할 때 동체 방향의 변화가 자이로 스코프의 방향에 영향을주지 않도록 기본 동체와 분리 된 구획에 배치됩니다. 우주선이 큰 힘과 가속도를 받는다면 어떻게 자이로스코프의 각운동량 방향이 항상 일정할 수 있습니까?

지구는 26,000 년의 기간으로 수직축을 중심으로 세차합니다. 식 11.12를 사용하여 지구의 세차 각속도를 계산할 수 있는지 토론하십시오.

문제점

11.1 롤링 모션

90.0km / h로 주행하는 자동차에서 직경 75.0cm 타이어의 각속도는 얼마입니까?

한 소년이 자전거를 2.00km 탔습니다. 바퀴의 반경은 30.0cm입니다. 여행 중에 타이어가 회전하는 총 각도는 얼마입니까?

앞의 문제에서 자전거를 탄 소년이 휴식 상태에서 10.0 초 동안 10.0m / s의 속도로 가속하면 타이어의 각가속도는 얼마입니까?

포뮬러 원 경주 용 자동차는 직경 66cm의 타이어를 사용합니다. 포뮬러 1이 경주 중 평균 300km/h의 속도를 낸다면 경주용 자동차가 이 속도를 1.5시간 동안 유지한다면 바퀴의 회전 각도 변위는 얼마입니까?

대리석은 정지 상태에서 30 ° 30 °의 경사를 굴립니다. (ᄀ) 가속도는 무엇입니까? (b) 3.0초 동안 얼마나 가나요?

대리석을 단단한 원통으로 교체하는 이전 문제를 반복합니다. 새로운 결과를 설명하십시오.

원통형 단면을 가진 강체가 30 ° 30 ° 경사의 상단에서 분리됩니다. 2.60초 동안 바닥까지 10.0m를 굴립니다. 질량으로 몸의 관성 모멘트를 찾으십시오. 미디엄 및 반경 아르 자형.

요요는 단단한 덩어리의 실린더로 생각할 수 있습니다. 미디엄 반경 아르 자형 둘레에 가벼운 끈이 감겨 있습니다 (아래 참조). 끈의 한쪽 끝은 공간에 고정되어 있습니다. 끈이 미끄러지지 않고 풀리면서 실린더가 떨어지면 실린더의 가속도는 얼마입니까?

반경 10.0cm의 단단한 원통은 미끄러짐과 함께 경사로 아래로 굴러갑니다. 경사각은 30 °입니다. 30 °. 표면의 운동 마찰 계수는 0.400입니다. 솔리드 실린더의 각가속도는 얼마입니까? 선형 가속도는 무엇입니까?

볼링 공이 창고로 미끄러지지 않고 0.5m 높이의 경사로를 굴러 올라갑니다. 질량 중심의 초기 속도는 3.0m / s입니다. (a) 경사로 상단에서의 속도는 얼마입니까? (b) 경사로의 높이가 1m이면 정상에 오를 수 있습니까?

40.0kg의 단단한 실린더가 6.0m / s의 속도로 수평면을 가로 질러 구르고 있습니다. 그것을 막으려면 얼마나 많은 노력이 필요합니까?

40.0kg의 단단한 구가 6.0m / s의 속도로 수평 표면을 가로 질러 구르고 있습니다. 그것을 막으려면 얼마나 많은 노력이 필요합니까? 결과를 앞의 문제와 비교하십시오.

단단한 실린더는 20 °의 각도로 기울어집니다. 20 °. 바닥에서 시작하여 10m/s의 속도로 경사면을 따라 얼마나 멀리 이동합니까?

단단한 원통형 바퀴 미디엄 반경 아르 자형 수평으로 37 ° 37 °로 휠 중앙에 가해지는 힘 F ⃗ F →에 의해 당겨집니다 (다음 그림 참조). 바퀴가 미끄러지지 않고 굴러가려면 ∣∣∣ F ⃗ ∣∣∣ 의 최대값은 얼마입니까? | F → |? 정적 및 운동 마찰 계수는 μ S = 0.40 및 μ k = 0.30입니다. μS=0.40및μk=0.30.

속이 빈 원통에는 5.0m / s의 속도가 주어지고 1.0m 높이까지 경사를 감습니다. 동일한 질량과 반경의 속이 빈 구에 동일한 초기 속도가 주어지면 경사면이 얼마나 높이 올라 갈까요?

11.2 각운동량

0.2kg 입자는 속도 5.0m / s 5.0m / s로 y = 2.0m y = 2.0m 선을 따라 이동합니다. 원점에 대한 입자의 각운동량은 얼마입니까?

새는 당신이 서있는 곳에서 고도 300.0m,지면과 수평으로 20.0m / s의 속도로 머리 위로 날아갑니다. 새의 질량은 2.0kg입니다. 새에 대한 반경 벡터는 지면에 대해 각도 θ θ를 만듭니다. 새에 대한 반경 벡터와 그 운동량 벡터는 xy-비행기. 당신이 서있는 지점에 대한 새의 각운동량은 무엇입니까?

무게 750.0kg의 포뮬러 원 경주 용 자동차가 모나코의 코스를 속도를 내며 원의 원점을 중심으로 시계 반대 방향으로 220.0km / h로 원형 선회를합니다. 코스의 다른 부분에서 자동차는 시계 반대 방향으로도 180km / h로 두 번째 원형 회전에 들어갑니다. 첫 번째 턴의 곡률 반경이 130.0m이고 두 번째 턴의 곡률 반경이 100.0m 인 경우, 원형 턴의 원점을 기준으로 각 턴의 경주 용 자동차의 각운동량을 비교합니다.

질량 5.0 kg의 입자는 속도가 v ⃗ = (3.0 i 인 특정 순간에 위치 벡터 r ⃗ = (2.0 i ˆ − 3.0 j ˆ) mr → = (2.0i ^ −3.0j ^) m ˆ) m / sv → = (3.0i ^) m / s 원점 기준. (a) 입자의 각운동량은 얼마입니까? (b) 힘 F ⃗ = 5.0 j ˆ N F → = 5.0j ^ N이이 순간 입자에 작용한다면, 원점에 대한 토크는 얼마입니까?

오른손 법칙을 사용하여 아래와 같이 입자의 원점에 대한 각 운동량의 방향을 결정합니다. 그만큼 지-축이 페이지 밖에 있습니다.

앞의 문제에서 입자의 질량이 m 1 = 0.10 kg, m 2 = 0.20 kg, m 3 = 0.30 kg, m1 = 0.10kg, m2 = 0.20kg, m3 = 0.30kg, m 4 = 0.40 kg m4 = 0.40이라고 가정합니다. 킬로그램 . 입자의 속도는 v 1 = 2.0 i ˆ m / s v1 = 2.0i ^ m / s, v 2 = (3.0 i ˆ − 3.0 j ˆ) m / s v2 = (3.0i ^ −3.0j ^) m/s , v 3 = −1.5 j ˆ m / s v3=−1.5j^m/s , v 4 = −4.0 i ˆ m / s v4=−4.0i^m/s . (a) 원점에 대한 각 입자의 각운동량을 계산하십시오. (b) 원점에 대한 4개 입자 시스템의 총 각운동량은 얼마입니까?

질량이 같은 두 입자는 거리만큼 떨어진 평행선을 따라 반대 방향으로 같은 속도로 이동합니다.. 이 두 입자 시스템의 각운동량은 각운동량을 계산하기위한 기준으로 사용되는 점에 관계없이 동일하다는 것을 보여줍니다.

질량 4.0 × 10 4 kg 4.0 × 104kg인 비행기가 지구에 대해 250m/s의 일정한 속력으로 고도 10km에서 수평으로 날아갑니다. (a) 비행기 바로 아래 지상 관찰자에 대한 비행기의 각운동량의 크기는 얼마입니까? (b) 비행기가 경로를 따라 날아갈 때 각운동량은 변하는가?

특정 순간에 1.0kg 입자의 위치는 r ⃗ = (2.0 i ˆ − 4.0 j ˆ + 6.0 k ˆ) mr → = (2.0i ^ −4.0j ^ + 6.0k ^) m, 속도는 v ⃗ = ( −1.0i ˆ + 4.0j ˆ + 1.0k ˆ ) m / sv→=(−1.0i^+4.0j^+1.0k^)m/s , 힘은 F ⃗ = ( 10.0 i ˆ + 15.0j ˆ ) NF→=(10.0i^+15.0j^)N . (a) 원점에 대한 입자의 각운동량은 얼마입니까? (b) 원점에 대한 입자의 토크는 얼마입니까? (c) 이 순간 입자의 각운동량의 시간 변화율은 얼마인가?

질량의 입자 미디엄 점 (− d, 0) (−d, 0)에 떨어지고 지구의 중력장 − g j ˆ에 수직으로 떨어집니다. −gj ^. (a) 주위 입자의 각운동량에 대한 표현은 무엇입니까? -축, 아래와 같이 페이지에서 직접 가리키는 것은 무엇입니까? (b) 주위의 입자에 대한 토크를 계산하십시오. -중심선. (c) 토크는 각운동량의 시간 변화율과 같은가?

(a) 태양 주위를 공전하는 지구의 각운동량을 계산하십시오. (b)이 각운동량을 그 축을 중심으로 한 지구의 각운동량과 비교하십시오.

질량이 20kg이고 반경이 20cm 인 바위가 휴식에서 15m 높이의 언덕을 굴러 내려갑니다. 언덕을 반쯤 내려왔을 때의 각운동량은 얼마입니까? (b) 바닥에?

위성은 6.0 rev / s로 회전합니다. 위성은 반경 2.0m, 질량 10,000kg의 구체 모양의 본체와 길이 3.0m, 질량 10의 막대로 근사 할 수있는 본체 질량 중심에서 돌출 된 두 개의 안테나로 구성됩니다. 킬로그램. 안테나는 회전 평면에 있습니다. 위성의 각운동량은 얼마입니까?

프로펠러는 각각 길이 3.0m와 무게 120kg의 블레이드 두 개로 구성됩니다. 프로펠러는 질량 중심을 중심으로 회전하는 단일 막대로 근사할 수 있습니다. 프로펠러는 정지 상태에서 시작하여 일정한 속도로 30초 동안 최대 1200rpm까지 회전합니다. (a) t = 10 s t = 20 s에서 프로펠러의 각운동량은 얼마입니까? t = 10st = 20s? (b) 프로펠러의 토크는 얼마입니까?

펄서는 빠르게 회전하는 중성자 별입니다. 황소자리에 있는 게 성운 펄서는 주기가 33.5 × 10 -3 s 33.5×10-3s , 반지름이 10.0 km, 질량이 2.8 × 10 30 kg 입니다. 2.8 × 1030kg. 펄서의 회전 주기는 반경을 변경하지 않고 회전 에너지를 감소시키는 전자기 복사의 방출로 인해 시간이 지남에 따라 증가합니다. (a) 펄서의 각운동량은 무엇입니까? (b) 각속도가 10 −14 rad/s 2 10−14rad/s2 의 비율로 감소한다고 가정합니다. 펄서의 토크는 얼마입니까?

풍력 터빈의 블레이드는 길이가 30m이고 최대 회전 속도로 20 rev/min으로 회전합니다. (a) 블레이드가 각각 6000kg이고 로터 어셈블리에 3개의 블레이드가 있는 경우 이 회전율에서 터빈의 각운동량을 계산하십시오. (b) 블레이드를 5 분 안에 최대 회전 속도까지 회전시키는 데 필요한 토크는 얼마입니까?

롤러코스터는 질량이 3000.0kg이고 반경 50.0m의 수직 원형 루프를 통해 안전하게 만들어야 합니다. 루프 바닥에 있는 코스터를 안전하게 통과하기 위한 최소 각운동량은 얼마입니까? 트랙의 마찰을 무시하십시오. 코스터를 점 입자로 사용하십시오.

산악 자전거 타는 사람이 경주에서 점프를하고 공중으로 떠납니다. 산악 자전거는 비행하기 전에 10.0m / s로 이동합니다. 자전거 앞바퀴의 질량이 750g이고 반지름이 35cm인 경우 자전거가 땅을 떠나는 순간 공중에 떠 있는 물레의 각운동량은 얼마입니까?

11.3 각운동량의 보존

가장자리에 부착된 0.05kg의 작은 질량과 함께 질량이 2.0kg이고 반지름이 60cm인 원반이 2.0 rev/s로 회전하고 있습니다. 작은 덩어리가 갑자기 디스크에서 분리됩니다. 디스크의 최종 회전 속도는 얼마입니까?

태양의 질량은 2.0×10 30kg, 2.0×1030kg, 반지름은 7.0×10 5km, 7.0×105km, 자전주기는 약 28일이다. 태양이 반경 3.5 × 10 3km, 3.5 × 103km의 백색 왜성으로 붕괴되어야한다면, 질량이 방출되지 않고 균일 한 밀도의 구체가 전후 모두 태양을 모델링 할 수 있다면 그 기간은 얼마일까요?

회전 관성 I 1 = 2.0 kg · m 2 I1=2.0kg·m2인 실린더는 중심을 통과하는 수직축을 중심으로 각속도 ω 1 = 5.0 rad/s로 시계 방향으로 회전합니다. ω1=5.0rad/s. 회전 관성 I 2 = 1.0 kg · m 2 I2 = 1.0kg · m2 인 두 번째 실린더는 각속도 ω 2 = 8.0 rad / s ω2 = 8.0rad / s로 동일한 축을 중심으로 시계 반대 방향으로 회전합니다. 실린더가 결합하여 동일한 회전축을 갖는다면 결합의 각속도는 얼마입니까? 마찰로 인해 손실되는 원래 운동 에너지의 몇 퍼센트?

하이 보드에서 벗어난 다이버는 물에 닿기 전에 턱에 들어가기 전에 몸을 완전히 펴고 세 번 등 공중제비를 실행하기 전에 처음 회전을 합니다. 턱 전의 관성 모멘트가 16.9kg · m2 16.9kg · m2이고 재주 넘기 중 턱 후의 관성 모멘트가 4.2kg · m2 4.2kg · m2라면, 그는 보드에서 직접 몸에 어떤 회전율을 부여해야하는지, 그가 물에 닿기 전에 공중제비를 실행하는 데 1.4초가 걸린다면 턱이 있기 전에?

지구 위성은 지구 표면 위 2500km에 정점을, 지구 표면 위 500km에 근점을 가지고 있습니다. 최고점에서 속도는 730m / s입니다. 근지점에서의 속도는 얼마입니까? 지구의 반지름은 6370km입니다(아래 참조).

Molniya 궤도는 스칸디나비아 국가와 인접 러시아에 지속적인 통신 범위를 제공하기 위해 통신 위성의 매우 편심 궤도입니다. 궤도는 이들 국가가 장기간 동안 위성을 볼 수 있도록 위치합니다(아래 참조). 그러한 궤도에 있는 위성의 원점이 지구 중심에서 측정하여 40,000.0km이고 속도가 3.0km/s이면 고도 200.0km에서 측정한 근점에서의 속도는 얼마입니까?

아래 그림은 균일 한 솔리드 실린더의 가장자리에 충돌하여 달라 붙을 때 10.0m / s의 속도로 움직이는 20g의 작은 입자입니다. 원통은 중심을 통해 축을 중심으로 자유롭게 회전하고 페이지에 수직입니다. 실린더의 질량은 0.5kg이고 반지름은 10cm이며 처음에는 정지 상태입니다.(a) 충돌 후 계의 각속도는 얼마인가? (b) 충돌에서 손실된 운동 에너지는 얼마입니까?

질량 0.020kg의 벌레는 단단한 원통형 디스크 (M = 0.10kg, R = 0.10m) (M = 0.10kg, R = 0.10m)를 통해 수직축을 중심으로 수평면에서 회전하는 가장자리에 있습니다. 센터. 디스크가 10.0rad/s로 회전하고 있습니다. 버그는 디스크 중앙으로 크롤링합니다. (a) 원반의 새로운 각속도는 얼마인가? (b) 시스템의 운동 에너지의 변화는 무엇입니까? (c) 벌레가 원반의 바깥쪽 가장자리로 다시 기어가는 경우 원반의 각속도는 얼마입니까? (d) 계의 새로운 운동에너지는 얼마인가? (e) 운동에너지의 증가와 감소의 원인은 무엇인가?

질량이 200g이고 길이가 100cm인 균일한 막대는 길이에 수직인 중심을 통과하는 고정된 수직 축을 중심으로 수평면에서 자유롭게 회전합니다. 각각의 질량이 20g인 두 개의 작은 구슬이 막대를 따라 홈에 장착됩니다. 처음에 두 개의 구슬은 회전 축에서 10cm 떨어진 막대 중심의 반대쪽에 있는 걸쇠로 고정됩니다. 이 위치에 구슬이 있는 상태에서 막대는 10.0rad/s의 각속도로 회전합니다. 캐치를 풀면 구슬이 막대를 따라 바깥쪽으로 미끄러집니다. (a) 구슬이 막대 끝에 도달할 때 막대의 각속도는 얼마입니까? (b) 구슬이 막대에서 날아가면 막대의 각속도는 얼마입니까?

회전목마의 반지름은 2.0m이고 관성모멘트는 300kg·m 2 입니다. 300kg·m2. 질량이 50kg인 소년이 4.0m/s의 속도로 림에 접선으로 달리고 점프합니다. 회전목마가 처음에 정지해 있을 때 소년이 뛴 후 각속도는 얼마입니까?

놀이터 회전목마는 120kg의 질량과 1.80m의 반경을 가지며 0.500rev/s의 각속도로 회전하고 있습니다. 22.0kg의 어린이가 바깥 쪽 가장자리를 잡고 올라간 후 각속도는 얼마입니까? 아이는 처음에 쉬고 ​​있습니다.

세 아이가 100kg, 1.60m 반경, 20.0rpm으로 회전하는 회전목마의 가장자리에 타고 있습니다. 어린이의 질량은 22.0, 28.0 및 33.0kg입니다. 질량이 28.0kg인 어린이가 회전목마의 중심으로 이동하면 새로운 각속도(rpm)는 얼마입니까?

(a) 관성 모멘트가 0.400 kg·m 2 0.400kg·m2인 경우 6.00 rev/s로 회전하는 아이스 스케이팅 선수의 각운동량을 계산하십시오. (b) 팔을 펴고 관성 모멘트를 증가시켜 회전 속도(각속도)를 줄입니다. 그의 각속도가 1.25 rev / s로 감소하면 그의 관성 모멘트 값을 찾으십시오. (c) 대신 그가 팔을 잡고 얼음의 마찰을 허용하여 그를 3.00 rev / s로 느리게한다고 가정합니다. 15.0초가 걸린다면 평균 토크는 얼마입니까?

트윈 스케이터는 아래와 같이 서로 접근하고 손을 고정합니다. (a) 각각이 얼음에 대해 2.50 m/s의 초기 속도를 가졌다면 최종 각속도를 계산하십시오. 각각의 질량은 70.0kg이고, 각각은 잠긴 손에서 0.800m 떨어진 위치에 질량 중심이 있습니다. 이 반경에서 관성 모멘트를 점 질량의 관성 모멘트로 근사할 수 있습니다. (b) 초기 운동 에너지와 최종 운동 에너지를 비교하십시오.

야구 포수가 40m/s의 속력으로 빠른 공을 잡기 위해 팔을 곧게 뻗습니다. 야구 공은 0.145kg, 포수의 팔 길이는 0.5m, 무게는 4.0kg입니다. (a) 암 소켓에서 측정한 볼을 잡은 직후 암의 각속도는 얼마인가? (b) 포수가 공을 잡은 후 0.3초 후에 팔의 회전을 멈추면 적용되는 토크는 얼마인가?

2015년 폴란드 바르샤바에서 Nova Scotia의 Olivia Oliver는 아이스 스케이트에서 가장 빠른 스피너로 세계 기록을 깼습니다. 그녀는 342회전/분이라는 기록을 달성하여 기존 기네스 세계 기록을 34회전 경신했습니다. 아이스 스케이터가 그 회전 속도로 팔을 뻗으면 새로운 회전 속도는 얼마입니까? 그녀는 기록 스핀에서 15cm의 반경과 1.7m 높이의 45kg 막대로 근사할 수 있다고 가정합니다. 팔을 쭉 뻗은 상태에서 체중의 10% 10%가 스핀 축에 수직으로 정렬된 길이 130cm의 막대를 가져옵니다. 마찰력을 무시하십시오.

정지궤도의 위성은 지구 중심에서 42,164.0km 떨어져 있다. 작은 소행성이 위성과 충돌하여 원점 45,000.0km의 타원 궤도로 보냅니다. 원점에서 위성의 속도는 얼마입니까? 각운동량이 보존된다고 가정합니다.

체조 선수는 바닥을 따라 수레 바퀴를 돌린 다음 공중으로 날아가 공중에 떠있는 동안 여러 번 뒤집기를합니다. 수레바퀴를 돌릴 때의 그녀의 관성모멘트가 13.5kg·m2·13.5kg·m2이고 회전수가 0.5rev/s라면 턱에서의 관성모멘트가 3.4kg이라면 그녀는 공중에서 몇 바퀴를 돌았을까? m 2 3.4kg·m2이고 공중에서 플립을 할 수 있는 시간은 2.0초입니까?

NASA Ames Research Center의 원심분리기는 반경이 8.8m이고 20개의 페이로드에 힘을 생성할 수 있습니다. s 또는 지구 중력의 20배. (a) 10kg을 받는 20kg 페이로드의 각운동량은 얼마입니까? 원심분리기에? (b) (a)에서 구동기 모터가 꺼지고 탑재하중이 10kg 감소했다면 마찰력이 존재하지 않는다는 점을 고려하면 새로운 회전 속도는 얼마가 될까요?

카니발 놀이기구에는 두 사람을 태울 수 있는 꼬투리가 부착된 4개의 스포크가 있습니다. 스포크는 각각 길이가 15m이고 중심축에 부착되어 있습니다. 각 스포크의 질량은 200.0kg이고 포드의 질량은 각각 100.0kg입니다. 2명의 50.0kg 어린이가 포함된 각 포드에서 놀이기구가 0.2 rev/s로 회전한다면 모든 어린이가 놀이기구에서 뛰어내리면 새로운 회전율은 얼마입니까?

한 아이스 스케이팅 선수가 턴과 함께 점프를 준비하고 팔을 뻗고 있습니다. 그의 관성모멘트는 1.8kg·m 2 1.8kg·m2이고 팔을 뻗은 상태에서 0.5rev/s로 회전하고 있다. 얼음에 대해 45° 45°의 각도로 9.0m/s의 속도로 공중에 뜬다면, 공중에서의 관성 모멘트가 0.5kg · m 2 0.5kg이라면 공중에서 몇 번 회전할 수 있습니까? · m2?

우주 정거장은 정거장에 있는 사람들을 포함하여 질량이 10 6 kg 106 kg이고 반경이 100.00 m인 거대한 회전 중공 실린더로 구성됩니다. 인공 중력을 생성하기 위해 3.30 rev/min의 속도로 우주에서 회전하고 있습니다. 평균 질량 65.00kg의 100명이 대기 중인 우주선에 우주 유영을 하면 모든 사람들이 정거장을 떠날 때 새로운 회전율은 얼마입니까?

해왕성의 질량은 1.0 × 10 26 kg 1.0 × 1026kg이고 태양으로부터 4.5 × 10 9 km 4.5 × 109km 떨어져 있으며 공전 주기는 165년입니다. 45억 년 전 외부 원시 태양계의 행성은 수억 년에 걸쳐 해왕성으로 합쳐졌습니다. 현재의 태양계로 진화 한 원시 원반의 반경이 10 11 1011 km이고 나중에 해왕성이 된이 행성을 구성하는 물질이 그 가장자리에 고르게 퍼져 있다면 궤도주기는 얼마입니까? 원시 디스크의 바깥쪽 가장자리?

11.4 자이로스코프의 세차운동

자이로스코프에는 40 rev/s로 회전하는 0.5kg 디스크가 있습니다. 디스크의 질량 중심은 디스크의 반경이기도 한 피벗에서 10cm입니다. 세차 운동 각속도는 무엇입니까?

자이로스코프의 세차 각속도는 1.0rad/s입니다. 회전하는 원반의 질량이 0.4kg이고 반지름이 30cm이고 질량 중심에서 축까지의 거리가 있다면 원반의 회전 속도는 얼마입니까?

지구의 축은 지구 궤도면에 수직인 방향으로 23.5° 23.5° 각도를 만듭니다. 아래와 같이 이 축이 세차운동을 하여 25,780y에 한 바퀴 회전합니다.

(a) 이번에는 각운동량의 변화를 반으로 계산하십시오.

(b) 이러한 각운동량의 변화를 일으키는 평균 토크는 얼마입니까?

(c)이 토크가 적도의 가장 효과적인 지점에서 작용하는 한 쌍의 힘에 의해 생성 된 경우 각 힘의 크기는 얼마입니까?

추가 문제

대리석이 수평에 대해 30° 30° 기울어진 평면을 시작할 때 7.0 m/s의 속도로 바닥을 가로질러 굴러가고 있습니다. (ㄱ) 대리석은 정지하기 전에 비행기를 따라 얼마나 멀리 이동합니까? (b) 구슬이 평면 위로 이동하는 동안 얼마나 많은 시간이 경과되었습니까?

대리석을 속이 빈 구로 교체하여 앞의 문제를 반복합니다. 새로운 결과를 설명하십시오.

반지름이 1.0m인 후프의 질량은 6.0kg입니다. 수평면을 10.0m/s의 속도로 구릅니다. (a) 후프를 멈추는 데 얼마나 많은 작업이 필요합니까? (b) 후프가 10.0 m/s의 속도로 수평에 대해 30 ° 30 °에서 표면을 시작하면 정지하고 다시 굴러 떨어지기 전에 경사를 따라 얼마나 멀리 이동할 것입니까?

반지름과 질량, 초기 속도가 같은 속이 빈 구에 대해 앞의 문제를 반복합니다. 결과의 차이점을 설명하십시오.

질량이 0.5kg인 입자가 양의 방향에서 2.0m/s로 x = 5.0m x=5.0m 선을 따라 이동하고 있습니다. 와이-방향. 원점에 대한 입자의 각운동량은 얼마입니까?

4.0kg의 입자가 반경 2.0m의 원을 움직입니다. 입자의 각운동량은 l = 5.0 t 2 에 따라 시간에 따라 변합니다. l=5.0t2. (a) t = 3.4s t=3.4s일 때 원의 중심에 대한 입자의 토크는 얼마입니까? (b) t = 3.4s t=3.4s에서 입자의 각속도는 얼마인가?

양성자는 사이클로트론에서 0.01초 동안 5.0 × 10 6 m/s 5.0 × 106m/s로 가속됩니다. 양성자는 원형 경로를 따릅니다. 사이클로트론의 반지름이 0.5km인 경우, (a) 최대 속도에서 중심에 대한 양성자의 각운동량은 얼마입니까? (b) 최대 속도로 가속할 때 중심에 대한 양성자의 토크는 얼마입니까?

(a) 지구 주위를 공전하는 달의 각운동량은 얼마입니까? (b) 이 각운동량은 축에 있는 달의 각운동량과 어떻게 비교됩니까? 달은 항상 지구를 향하고 있다는 것을 기억하십시오.

DVD가 500rpm으로 회전하고 있습니다. 반지름이 6.0cm이고 질량이 20.0g인 DVD의 각운동량은 얼마입니까?

도공의 원반은 정지 상태에서 15초 동안 최대 10회전/초까지 회전합니다. 디스크의 질량은 3.0kg이고 반지름은 30.0cm입니다. t = 5s, t = 10s t=5s,t=10s일 때 디스크의 각운동량은 얼마입니까?

0.250초 동안 크랭크에 300N의 힘을 가하여 골동품 자동차를 시동한다고 가정합니다. 크랭크의 핸들이 피벗에서 0.300m 떨어져 있고 항상 최대 토크를 생성하기 위해 힘이 가해진다면 엔진에 주어진 각운동량은 얼마입니까?

무게가 2.0kg이고 반경이 20cm 인 단단한 실린더가 600 rev / min의 중심을 통해 수직 축을 중심으로 시계 반대 방향으로 회전합니다. 동일한 질량의 두 번째 솔리드 실린더가 동일한 수직 축을 중심으로 900 rev/min으로 시계 방향으로 회전하고 있습니다. 실린더가 동일한 수직축을 중심으로 회전하도록 결합하면 결합의 각속도는 얼마입니까?

한 소년이 마찰 없이 1.0 rev/s로 회전하는 플랫폼의 중앙에 서 있습니다. 소년은 가능한 한 자신의 몸에서 무게를 유지합니다. 이 위치에서 소년, 플랫폼 및 무게의 총 관성 모멘트는 5.0 kg · m 2 입니다. 5.0kg·m2. 소년은 체중을 자신의 몸 가까이로 끌어당겨 총 관성 모멘트를 1.5kg·m 2 로 줄였습니다. 1.5kg·m2. (a) 플랫폼의 최종 각속도는 얼마입니까? (b) 회전 운동 에너지는 얼마나 증가합니까?

체중이 각각 40kg인 8명의 어린이가 작은 회전목마를 타고 올라갑니다. 그들은 바깥 쪽 가장자리에 균등하게 위치하고 손을 잡습니다. 회전목마의 반지름은 4.0m이고 관성모멘트는 1000.0kg·m 2 1000.0kg·m2입니다. 회전목마에 6.0 rev/min의 각속도를 부여한 후 아이들은 안쪽으로 걸어가 회전축에서 0.75 m 떨어진 지점에서 멈춥니다. 회전목마의 새로운 각속도는 얼마입니까? 구조물에 무시할 수 있는 마찰 토크가 있다고 가정합니다.

150g의 얇은 미터 스틱은 240 rev / min의 각속도로 스틱의 장축에 수직 인 축을 중심으로 회전합니다. 회전축 (a)이 스틱의 중심을 통과 할 때 스틱의 각운동량은 얼마입니까? (b) 막대기의 한쪽 끝을 통과합니까?

질량이 20,000kg이고 반지름이 5.0m인 구 모양의 위성이 질량 중심을 통해 축을 중심으로 회전하고 있습니다. 회전 속도는 8.0 rev / s입니다. 두 개의 안테나는 위성의 질량 중심에서 연장되는 회전 평면에 배치됩니다. 각 안테나는 막대의 질량이 200.0kg이고 길이가 7.0m인 막대로 근사할 수 있습니다. 위성의 새로운 회전율은 얼마입니까?

팽이의 관성 모멘트는 3.2 × 10 −4 kg · m 2 3.2 × 10−4kg·m2이고 질량 중심에서 중심점까지의 반경은 4.0 cm입니다. 20.0 rev/s로 회전하고 세차를 하고 있다면 10.0 s 동안 몇 회전을 세차합니까?

도전 문제

아래에 표시된 트럭은 처음에 침대 위에 단단한 원통형 롤 용지가 놓여 있는 정지 상태입니다. 트럭이 일정한 가속도로 전진하는 경우 , 거리 에스 종이가 뒷면에서 떨어지기 전에 움직이나요? (힌트: 롤이 a ' a' 로 앞으로 가속되면 는 가속도 a − a ' a−a' 로 트럭에 대해 뒤로 가속됩니다. 또한, R α = a − a ' Rα=a−a' 입니다.)

반지름 8.5cm의 볼링공을 9.0m/s의 속력으로 볼링 레인에 던졌습니다. 던지는 방향은 관찰자가 보았을 때 왼쪽이므로 볼링 공은 바닥에 닿았을 때 반시계 방향으로 회전하기 시작합니다. 차선의 운동 마찰 계수는 0.3입니다. (a) 공이 미끄러지지 않는 지점까지 오는 데 필요한 시간은 얼마입니까? 공이 미끄러지지 않고 구르는 지점까지의 거리 d는 얼마입니까?

아래 그림과 같이 회전하는 수직 막대에 질량이 0.50kg인 작은 공이 질량이 없는 끈으로 연결되어 있습니다. 막대의 각속도가 6.0rad/s일 때 끈은 수직에 대해 30° 30°의 각도를 만듭니다. (a) 각속도가 10.0rad/s로 증가하면 끈의 새로운 각도는 얼마입니까? (b) 공의 초기 및 최종 각운동량을 계산합니다. (c) 막대가 공이 수평이 되도록 충분히 빠르게 회전할 수 있습니까?

1.0 m/s의 속도로 수평으로 날아가는 벌레가 수직으로 매달린 균일한 막대 끝에 충돌하여 붙습니다. 임팩트 후 스틱은 수직에서 최대 5.0° 5.0° 각도로 휘어져 뒤로 회전합니다. 막대기의 질량이 벌레의 10배이면 막대기의 길이를 계산하십시오.


내용

2차원에서의 궤도 각운동량

각운동량은 특정 축에 대한 본체의 회전 관성과 회전 속도(초당 라디안)의 곱을 나타내는 벡터 양(더 정확하게는 의사 벡터)입니다. 그러나 입자의 궤적이 단일 평면에 있는 경우 각운동량의 벡터 특성을 버리고 이를 스칼라(보다 정확하게는 의사 스칼라)로 취급하는 것으로 충분합니다. [2] 각운동량은 선형 운동량의 회전 아날로그로 간주될 수 있습니다. 따라서 선형 운동량 p는 질량 m과 선형 속도 v에 비례합니다.

각운동량 L은 관성모멘트 I 및 초당 라디안으로 측정된 각속도 ω에 비례합니다. [삼]

물질의 양에만 의존하는 질량과 달리 관성 모멘트는 회전축의 위치와 물질의 모양에 따라 달라집니다. 원점의 선택에 의존하지 않는 선형 속도와 달리 궤도 각속도는 항상 고정된 원점을 기준으로 측정됩니다. 따라서 엄밀히 말하면 L을 각운동량이라고 해야 합니다. 그 중심을 기준으로. [4]

이 간단한 분석은 반경 벡터에 수직인 모션 성분만 고려된다면 비원형 모션에도 적용될 수 있습니다. 그 경우,

여기서 r ⊥ = r sin ⁡ (θ) < displaystyle r _ < perp> = r sin ( theta)>는 모멘트 암, 원점에서 입자의 경로에 수직으로 떨어진 선. (모멘트 암의 길이)×(선운동량)의 정의는 다음과 같습니다. 모멘텀의 순간 참조합니다. [5]

스칼라 - 라그랑주 역학의 각운동량

또 다른 접근법은 각운동량을 켤레 운동량으로 정의하는 것입니다(또한 표준 모멘텀) 기계 시스템의 라그랑지안으로 표현되는 각도 좌표 ϕ . 외력장이 없는 상태에서 반지름이 a 인 원으로 움직이도록 구속된 질량 m 을 가진 기계 시스템을 생각해 보십시오. 시스템의 운동 에너지는

그리고 위치에너지는

그만큼 일반화된 모멘텀 좌표 ϕ < displaystyle phi>에 대한 "표준 켤레"는 다음과 같이 정의됩니다.

3차원의 궤도 각운동량

궤도 각운동량을 3차원으로 완전히 정의하려면 위치 벡터가 각도, 각 변위의 순간 평면에 수직인 방향, 관련된 질량 및 이 질량이 어떻게 분포되는지를 알아야 합니다. 공간에서. [6] 이러한 각운동량의 벡터 특성을 유지함으로써 방정식의 일반 특성도 유지되며 회전 중심에 대한 모든 종류의 3차원 운동(원형, 선형 등)을 설명할 수 있습니다. 벡터 표기법에서 원점을 중심으로 움직이는 점 입자의 궤도 각운동량은 다음과 같이 표현할 수 있습니다.

이것은 확장, 축소 및 벡터 대수 규칙에 따라 재정렬될 수 있습니다.

따라서 이전 섹션의 2차원 스칼라 방정식에 방향을 지정할 수 있습니다.

구면 좌표계에서 각운동량 벡터는 다음과 같이 표현됩니다.

4차원 이상의 궤도 각운동량

더 높은 차원의 각운동량은 Noether의 정리를 더 높은 차수의 회전 그룹에 적용하여 정의할 수 있습니다. [ 인용 필요 ] 3차원 이상의 일반화는 미분 형식을 사용하여 가장 잘 처리됩니다. [ 인용 필요 ]

각운동량은 선형 운동량의 회전 아날로그로 설명할 수 있습니다. 선형 운동량과 마찬가지로 질량 및 변위 요소가 포함됩니다. 선형 운동량과 달리 위치 및 모양 요소도 포함됩니다.

물리학의 많은 문제는 공간의 특정 지점 주위에서 움직이는 물질과 관련이 있습니다. 실제 회전하거나 단순히 지나쳐 이동하는 경우 움직이는 물질이 해당 지점에 어떤 영향을 미치는지 알고자 하는 경우에 에너지를 가할 수 있습니까? 그것에 대한 작업을 수행하거나 수행합니까? 일을 할 수 있는 능력인 에너지는 물질을 움직이게 함으로써 물질에 저장될 수 있습니다. 이는 물질의 관성과 변위의 조합입니다. 관성은 질량으로 측정되고 변위는 속도로 측정됩니다. 그들의 제품,

문제의 추진력입니다. [7] 이 운동량을 중심점으로 참조하면 문제가 발생합니다. 즉, 운동량이 점에 직접 적용되지 않습니다. 예를 들어, 바퀴의 바깥쪽 가장자리에 있는 물질 입자는 사실상 바퀴의 반지름과 같은 길이의 지렛대 끝에 있으며 그 운동량은 지렛대를 중심점으로 돌리는 것입니다. 이 상상의 레버는 모멘트 암. 운동량의 길이에 비례하여 운동량의 힘을 곱하는 효과가 있습니다. 순간. 따라서 입자의 운동량은 특정 점을 참조하고,

관성 모멘트는 스핀 각운동량의 중요한 부분이기 때문에 후자는 전자의 모든 복잡성을 필연적으로 포함하며, 이는 질량의 기본 비트에 회전 중심으로부터의 거리의 제곱을 곱하여 계산됩니다. 따라서 총 관성 모멘트와 각운동량은 다양한 비트에 대한 회전 중심과 회전 방향에 대한 문제 구성의 복잡한 함수입니다.

강체(예: 바퀴나 소행성)의 경우 회전 방향은 단순히 몸체의 문제에 대한 회전 축의 위치입니다. 그것은 질량 중심을 통과할 수도 있고 통과하지 않을 수도 있고, 몸의 바깥쪽에 완전히 놓일 수도 있습니다. 동일한 몸체에 대해 각운동량은 회전이 발생할 수 있는 모든 가능한 축에 대해 다른 값을 취할 수 있습니다. [10] 축이 질량 중심을 통과 할 때 최소값에 도달합니다. [11]

예를 들어 태양계의 모든 몸체와 같이 중심을 중심으로 회전하는 개체 모음의 경우 방향은 태양계와 마찬가지로 다소 구성될 수 있으며 대부분의 몸체 축이 시스템의 축에 가깝습니다. 방향은 완전히 무작위 일 수도 있습니다.

간단히 말해서, 질량이 많고 회전 중심에서 멀어 질수록 (모멘트 암이 길수록) 관성 모멘트가 커지고 따라서 주어진 각속도에 대한 각운동량이 커집니다. 많은 경우에 관성 모멘트와 이에 따른 각운동량은 다음과 같이 단순화될 수 있습니다. [12]

I = r 2 m < displaystyle I = r ^ <2> m> 여기서 r < displaystyle r>은 회전 중심에서 점 질량의 반지름입니다.

모든 입자 컬렉션에 대해 m i > 합계로,

위치 및 모양에 대한 각운동량의 종속성은 선형 운동량에 대한 단위로 반영됩니다. 각운동량의 경우 kg⋅m 2 /s, N⋅m⋅s 또는 J⋅s 대 선형 운동량의 경우 kg⋅m/s 또는 N⋅s입니다. 관성 모멘트와 각속도의 곱으로 각운동량을 계산할 때 각속도는 초당 라디안으로 표현되어야하며, 여기서 라디안은 차원이없는 단일 값을 가정합니다. (차원 분석을 수행할 때 라디안을 기본 단위로 취급하는 방향 분석을 사용하는 것이 생산적일 수 있지만 이는 국제 단위 시스템의 범위를 벗어납니다). 각운동량의 단위는 토크⋅시간 또는 에너지⋅시간으로 해석될 수 있습니다. 각운동량이 인 물체 N⋅m⋅s는 다음의 각 임펄스에 의해 제로 회전으로 감소될 수 있습니다(모든 회전 에너지는 회전 에너지 외부로 전달될 수 있음). N⋅m⋅s [13] 또는 동등하게, 토크 또는 작업 1초 동안 N⋅m, 또는 에너지 1초 동안 J. [14]

각운동량 축에 수직이고 질량 중심 [15]을 통과하는 평면은 때때로 불변 평면, 외부 영향이 없는 시스템 내 바디의 상호 작용만 고려하면 축의 방향이 고정되어 있기 때문입니다. [16] 그러한 평면 중 하나는 태양계의 불변 평면입니다.

각운동량과 토크

뉴턴의 운동 제2법칙은 수학적으로 표현될 수 있으며,

또는 힘 = 질량 × 가속도. 점 입자에 대한 회전 등가는 다음과 같이 파생 될 수 있습니다.

이는 토크(즉, 각운동량의 시간 도함수)가

이것은 뉴턴의 제2법칙의 회전 아날로그입니다. 토크가 반드시 각가속도에 비례하거나 평행하지는 않습니다(예상할 수 있음). 그 이유는 입자의 관성 모멘트가 시간에 따라 변할 수 있기 때문입니다. 이는 일반 질량에서는 발생할 수 없습니다.

일반 고려 사항 편집

뉴턴의 운동 제3법칙의 회전 아날로그는 "닫힌 시스템에서 동일하고 반대되는 토크의 다른 물질에 대한 작용 없이 어떤 물질에도 토크가 가해질 수 없습니다."라고 쓰여질 수 있습니다. [17] 따라서, 각운동량은 닫힌 계에서 물체 사이에서 교환될 수 있지만 교환 전후의 총 각운동량은 일정하게 유지됩니다(보존됨). [18]

다른 방식으로 보면, 뉴턴의 운동 제1법칙의 회전 유사체는 "외부 영향에 의해 작용하지 않는 한 강체는 균일한 회전 상태로 계속된다"라고 쓰여질 수 있습니다. [17] 따라서 외부 영향이 작용하지 않으면 시스템의 원래 각운동량이 일정하게 유지됩니다.. [19]

각운동량 보존은 해석에 사용됩니다. 중심력 운동. 어떤 신체에 대한 순 힘이 항상 어떤 지점을 향하면 센터, 모든 힘이 반경 벡터를 따라 향하고 반경에 수직이 아니므로 중심에 대해 몸체에 토크가 없습니다. 수학적으로 토크 τ = r × F = 0 , >=mathbf imes mathbf = mathbf <0>,>이 경우 r < displaystyle mathbf > 및 F >는 평행 벡터입니다. 따라서 중심에 대한 몸체의 각운동량은 일정합니다. 이것은 중력이 항상 1차 천체를 향하고 궤도를 도는 천체가 1차를 중심으로 이동할 때 거리와 속도를 교환하여 각운동량을 보존하는 행성과 위성의 궤도에서 중력 인력의 경우입니다. 중심력 운동은 원자의 보어 모델 분석에도 사용됩니다.

행성의 경우, 각운동량은 행성의 자전과 그 궤도의 공전 사이에 분포되며, 이들은 종종 다양한 메커니즘에 의해 교환됩니다. 지구-달 시스템에서 각운동량의 보존은 달이 지구에 가하는 조석 토크로 인해 지구에서 달로 각운동량을 전달합니다. 그 결과 지구의 자전 속도가 하루에 약 65.7 나노초로 느려지고 [20] 달의 궤도 반경이 연간 약 3.82 센티미터로 점진적으로 증가합니다. [21]

각운동량 보존은 그녀가 팔과 다리를 수직 회전축에 가까이 가져갈 때 아이스 스케이팅 선수의 각가속도를 설명합니다. 그녀는 신체 질량의 일부를 축에 더 가깝게 가져옴으로써 신체의 관성 모멘트를 줄입니다. 각운동량은 관성 모멘트와 각속도의 곱이기 때문에 각운동량이 일정하게 유지되면 (보존) 스케이터의 각속도 (회전 속도)가 증가해야합니다.

같은 현상으로 인해 백색 왜성, 중성자 별 및 블랙홀과 같은 소형 별이 훨씬 더 크고 느리게 회전하는 별에서 형성될 때 극도로 빠른 회전이 발생합니다. 개체의 크기 감소 시간 결과 각속도는 다음 계수만큼 증가합니다. 2 .

보존은 항상 시스템의 역학에 대한 완전한 설명은 아니지만 주요 제약 조건입니다. 예를 들어, 팽이는 중력 토크의 영향을 받아 장력 축에 대한 각운동량을 변경하지만 회전 접촉점에서의 마찰을 무시하면 회전축에 대해 보존 된 각운동량을 가지게됩니다. 세차 축. 또한 모든 행성계에서 행성, 별(들), 혜성 및 소행성은 모두 수많은 복잡한 방식으로 움직일 수 있지만 시스템의 각운동량은 보존되어야 합니다.

Noether의 정리는 모든 보존 법칙이 기본 물리학의 대칭 (불변)과 연관되어 있다고 말합니다. 각운동량 보존과 관련된 대칭은 회전 불변입니다. 축을 중심으로 어떤 각도로 회전하더라도 시스템의 물리학이 변경되지 않는다는 사실은 각운동량이 보존된다는 것을 의미합니다. [22]

뉴턴의 운동 제 2 법칙과의 관계

각운동량 총보존은 회전하에서 대칭인 시스템에서 Noether의 정리에서 비롯된 Newton의 운동 법칙과 별도로 이해될 수 있지만, 그렇지 않으면 Newton의 두 번째 자연의 힘을 지배하는 법칙(뉴턴의 제3법칙, 맥스웰의 방정식 및 로렌츠 힘과 같은)과 함께 법칙. 실제로 모든 점에 대한 위치와 속도의 초기 조건과 그러한 조건에서의 힘이 주어지면 Newton의 제2법칙을 사용하여 위치의 2차 도함수를 계산할 수 있으며 이에 대한 풀이는 다음과 같은 물리적 시스템의 발전에 대한 완전한 정보를 제공합니다. 시각. [23] 그러나 이것은 공간에서 점과 같은 운동의 누적 효과로 설명할 수 없는 각운동량인 입자 스핀의 존재로 인해 양자 역학에서 더 이상 사실이 아님에 유의하십시오.

예를 들어, 관성 모멘트 감소를 고려하십시오. 피겨 스케이팅 선수가 손을 잡고 원을 그리며 속도를 낼 때. 각운동량 보존의 관점에서, 우리는 각운동량에 대해 , 관성 모멘트 나는 및 각속도 ω:

0 = d L = d ( 나는 ⋅ ω ) = d 나는 ⋅ ω + 나는 ⋅ d ω

이를 사용하여 변경에는 다음과 같은 에너지가 필요하다는 것을 알 수 있습니다.

따라서 관성 모멘트의 감소에는 에너지 투자가 필요합니다.

이것은 뉴턴의 법칙을 사용하여 계산된 작업과 비교할 수 있습니다. 회전체의 각 점은 각 시점에서 다음과 같은 반경 방향 가속으로 가속됩니다.

질량 점을 관찰하자 미디엄, 모션 중심을 기준으로 한 위치 벡터는 주어진 시점에서 z 축과 평행하고 거리에 있습니다. . 원운동을 유지하는 이 점에 대한 구심력은 다음과 같습니다.

따라서이 지점을 멀리 이동하는 데 필요한 작업 dz 운동 중심에서 멀수록:

비포인트형 바디의 경우 이것에 대해 통합해야 합니다. 미디엄 단위당 질량 밀도로 대체 . 이것은 다음을 제공합니다.

이것은 정확히 각운동량을 보존하는 데 필요한 에너지입니다.

위의 계산은 운동학만 사용하여 질량당 수행할 수도 있습니다. 따라서 피겨 스케이팅 선수가 손을 당기면서 접선 속도를 가속하는 현상은 평신도의 언어로 다음과 같이 이해할 수 있습니다. 가속은 항상 안쪽으로의 움직임이 0일 때 이루어지기 때문입니다. 그러나 이것은 손바닥을 몸에 더 가까이 당길 때 다릅니다. 회전에 의한 가속은 이제 속도를 증가 시키지만 회전으로 인해 속도의 증가는 안쪽으로의 상당한 속도로 변환되지 않고 회전 속도의 증가로 변환됩니다. .

라그랑주 형식주의 편집

라그랑주 역학에서 주어진 축을 중심으로 한 회전에 대한 각운동량은 같은 축을 중심으로 한 각도의 일반화된 좌표의 켤레 운동량입니다. 예를 들어, L z > , z축 주위의 각운동량은 다음과 같습니다.

여기서 아래 첨자 i는 i 번째 본문을 나타냅니다. 미디엄, Vω 질량, z 축 주변의 접선 속도 및 해당 축 주변의 각속도를 각각 나타냅니다.

뾰족하지 않고 밀도가 높은 바디 ρ, 대신 다음이 있습니다.

어디 나는 는 z축 주위의 관성 모멘트입니다.

따라서 위치 에너지가 ω (이 가정은 전자기 시스템에서는 실패할 수 있음) i 번째 물체의 각운동량은 다음과 같습니다.

우리는 지금까지 전체 각도를 정의할 수 있는 별도의 각도로 각 개체를 회전했습니다. θ 전체 시스템을 회전시켜 z축을 중심으로 각 객체도 회전하고 전체 각운동량을 갖습니다.

오일러-라그랑주 방정식에서 다음을 따릅니다.

라그랑지안은 포텐셜을 통해서만 물체의 각도에 의존하기 때문에 다음을 얻습니다.

i번째 객체의 토크입니다.

시스템이 회전에 불변하므로 전위가 각도에 의한 전체 회전과 무관하다고 가정합니다. θ (따라서 V ( θ z i , θ z j ) = V ( θ z i − θ z j ) >_,<세타 _>_)=V(<세타 _>_-<세타 _>_)> ). 따라서 우리는 총 각운동량을 얻습니다.

따라서 z축 주위의 각운동량은 보존됩니다.

이 분석은 각 축에 대해 개별적으로 반복 될 수 있으며 각운동량 벡터에 대한 대화를 제공합니다. 그러나 세 축 주위의 각은 특히 독립적이지 않기 때문에 일반 좌표로 동시에 취급할 수 없으며 점당 두 각도로 위치를 결정하기에 충분합니다. 강체의 경우 완전히 설명하려면 3 개의 병진 자유도 외에 3 개의 회전 자유도를 지정해야하지만 이는 데카르트 축을 중심으로 한 회전으로 정의 할 수 없습니다 (오일러 각도 참조). ). 이 경고는 각운동량 연산자의 다른 구성 요소의 중요하지 않은 교환 관계에서 양자 역학에 반영됩니다.

해밀턴 형식주의에서

동등하게, 해밀턴 역학에서 해밀턴은 각운동량의 함수로 설명될 수 있습니다. 이전과 마찬가지로 i 번째 물체의 z 축을 중심으로 한 회전과 관련된 운동 에너지 부분은 다음과 같습니다.

이는 z축을 따른 운동량에 대한 에너지 의존성과 유사합니다. p z i 2 2 m i >_>^<2>><<2m>_>>> .

Hamilton의 방정식은 z축 주위의 각도를 켤레 운동량, 동일한 축 주위의 각운동량과 관련시킵니다.

따라서 우리는 Lagrangian 형식주의에서와 동일한 결과를 얻습니다.

모든 축을 함께 결합하기 위해 운동 에너지를 다음과 같이 씁니다.

어디 아르 자형 는 방사 방향의 운동량이고 관성 모멘트는 3 차원 행렬 굵은 문자는 3 차원 벡터를 나타냅니다.

점과 같은 몸체의 경우 다음이 있습니다.

Hamiltonian의 운동 에너지 부분의 이러한 형태는 중심 전위 문제를 분석하는 데 유용하며 양자 역학 작업 프레임(예: 수소 원자 문제)으로 쉽게 변환됩니다.

고전 역학에서 각운동량의 언어는 뉴턴의 운동 법칙으로 대체 될 수 있지만 특히 태양계의 행성 운동과 같은 중심 잠재력의 운동에 유용합니다. 따라서 태양계에서 행성의 궤도는 에너지, 각운동량 및 좌표계에 대한 궤도 장축의 각도로 정의됩니다.

천체 역학과 천체 역학에서 질량이없는 (또는 단위 질량당) 각운동량 정의 [24]

부름 특정 각운동량. L = m h 입니다. < displaystyle mathbf =mmathbf .> 운동은 중력에 의해 정의되기 때문에 질량은 궤도 역학 계산에서 종종 중요하지 않습니다. 시스템의 기본 몸체는 종종 그것에 대해 움직이는 어떤 몸체보다 훨씬 커서 작은 몸체는 무시할 수 있는 중력 효과를 가지며 사실상 고정되어 있습니다. 모든 물체는 질량에 관계없이 동일한 방식으로 중력에 의해 끌리는 것처럼 보이기 때문에 동일한 조건에서 모두 거의 동일한 방식으로 움직입니다.

각운동량은 또한 자이로스코프나 암석 행성과 같은 회전하는 강체를 설명하는 데 매우 유용한 개념입니다. 밀도 함수를 사용한 연속 질량 분포 용 ρ(아르 자형), 차동 체적 요소 dV 위치 벡터와 함께 아르 자형 매스 안에 매스 요소가 있습니다. 디엠 = ρ(아르 자형)dV. 따라서이 요소의 극소 각운동량은 다음과 같습니다.

전체 질량의 부피에 대한 이 미분을 통합하면 총 각운동량을 얻을 수 있습니다.

이어지는 유도에서 이와 유사한 적분은 연속 질량의 경우 합을 대체할 수 있습니다.

입자 모음 편집

임의의 원점에 대해 운동하는 입자 집합의 경우 운동을 자체 질량 중심 및 원점에 대한 구성 요소로 분해하여 각운동량 방정식을 개발하는 것이 유익합니다. 주어진,

입자의 총 질량은 단순히 그들의 합이고,

질량 중심의 위치 벡터는 다음과 같이 정의됩니다. [25]

입자 집합의 총 각운동량은 각 입자의 각운동량의 합입니다.

(사이드바 참조),

따라서 두 번째 및 세 번째 항은 사라지고,

첫 번째 용어는 다시 정렬 할 수 있습니다.

입자 집합에 대한 총 각운동량은 최종적으로, [26]

첫 번째 항은 원점에 대한 질량 중심의 각운동량입니다. 비슷하다 단일 입자, 아래에서 그것은 하나의 질량 입자의 각운동량입니다. 미디엄 속도로 움직이는 질량 중심에서 V. 두 번째 항은 질량 중심에 대해 움직이는 입자의 각운동량입니다. 고정 질량 중심, 아래. 결과는 일반적입니다. 입자의 움직임은 원점이나 질량 중심에 대한 회전이나 회전으로 제한되지 않습니다. 입자는 개별 질량일 필요는 없지만 솔리드 바디와 같이 연속 분포의 요소일 수 있습니다.

재정렬 방정식(2) 벡터 ID, 두 용어에 "하나"를 곱하고 적절하게 그룹화합니다.

관성 모멘트 I < displaystyle I> 및 각속도 ω < displaystyle < boldsymbol < omega >>> 측면에서 입자 시스템의 총 각운동량을 제공합니다.

단일 입자 케이스

임의의 원점 주위를 이동하는 단일 입자의 경우

질량 중심이 고정 된 경우

원점을 기준으로 질량 중심이 공간에 고정 된 경우

현대 (20 세기) 이론 물리학에서 각운동량 (고유 각운동량은 포함하지 않음 – 아래 참조)은 고전적 의사 벡터 대신 다른 형식론을 사용하여 설명됩니다. 이 형식에서 각운동량은 회전 불변과 관련된 2-형태 Noether 전하입니다. 결과적으로 각운동량은 점근적으로 회전 불변이 아닌 한 일반적인 곡선 시공간에 대해 보존되지 않습니다. [ 인용 필요 ]

고전 역학에서 입자의 각운동량은 평면 요소로 재해석될 수 있습니다.

외적 ∧가 외적 ×를 대체하는 경우(이 제품들은 유사한 특성을 갖지만 동등하지 않음). 이것은 평면 요소로서 보다 명확한 기하학적 해석의 이점이 있습니다. 엑스 벡터이고 식은 여러 차원(2 이상)에서 참입니다. 데카르트 좌표에서 :

또는 보다 간결하게 인덱스 표기법:

각속도는 다음과 같은 구성 요소를 포함하는 반대칭 2차 텐서로 정의할 수도 있습니다. ωij. 두 개의 비대칭 텐서 사이의 관계는 이제 4차 텐서여야 하는 관성 모멘트에 의해 주어집니다. [27]

다시,이 방정식 ω 텐서는 모든 차원에서 참이기 때문입니다.이 방정식은 기하 대수 형식주의에도 나타납니다. ω 바이 벡터이고 관성 모멘트는 그들 사이의 매핑입니다.

4 벡터의 언어로, 즉 4 위치 엑스 그리고 4 개의 모멘텀 , 그리고 위의 내용을 흡수 입자의 질량 중심의 움직임과 함께.

위의 각 경우에서 입자 시스템의 경우 총 각운동량은 개별 입자 각운동량의 합이고 질량 중심은 시스템에 대한 것입니다.

양자 역학의 각운동량은 고전 역학의 각운동량과 많은 면에서 다릅니다. 상대론적 양자역학에서는 위의 상대론적 정의가 텐서리얼 연산자가 된다는 점에서 더욱 다릅니다.

회전, 궤도 및 총 각운동량

  • 왼쪽: "회전" 각운동량 에스 모든 지점에서 물체의 궤도 각운동량입니다.
  • 권리: 외부 궤도 각운동량 축에 대해.
  • 상단: 관성 모멘트 텐서나는 및 각속도ω ( 항상 평행하지는 않습니다 ω). [28]
  • 바닥: 기세 및 반경 위치 아르 자형 축에서. 총 각운동량(스핀 + 오비탈)은 제이. 를 위해 양자 입자 해석은 다릅니다 입자 스핀은 아니 위와 같은 해석이 있습니다.

각운동량의 고전적 정의 : L = r × p < displaystyle mathbf =mathbf imes mathbf

>은 재 해석을 통해 양자 역학으로 이어질 수 있습니다. 아르 자형 양자 위치 연산자로 양자 운동량 연산자로. 그런 다음 연산자, 구체적으로 궤도 각운동량 연산자. 각운동량 연산자의 성분은 Lie 대수 so (3)의 정류 관계를 충족합니다. 실제로, 이러한 연산자는 양자 힐베르트 공간에 대한 회전 그룹의 극소 작용입니다. [29] (회전 생성자로서의 각운동량 연산자에 대한 아래의 논의도 참조하십시오.)

그러나 양자 물리학에는 다른 유형의 각운동량이 있습니다. 스핀 각운동량, 스핀 연산자로 표시 에스. 거의 모든 기본 입자는 0이 아닌 스핀을 가지고 있습니다. [30] 스핀은 문자 그대로 축을 중심으로 회전하는 입자로 묘사되는 경우가 많지만 이는 오해의 소지가 있고 부정확한 그림입니다. 스핀은 입자의 고유한 속성으로, 공간에서의 어떤 종류의 운동과도 관련이 없으며 궤도 각운동량과 근본적으로 다릅니다. 모든 기본 입자는 특성 스핀(아마도 0)을 가지고 있습니다. [31] 예를 들어 전자는 "스핀 1/2"(이는 실제로 "스핀 ±2"를 의미함), 광자는 "스핀 1"(실제로 "스핀 ±을 의미함)을 가지고 있습니다. "), 파이 중간자는 스핀이 0입니다. [32]

마지막으로 총 각운동량은 다음과 같습니다. 제이, 모든 입자와 필드의 회전 및 궤도 각운동량을 결합합니다. (하나의 입자에 대해, 제이 = + 에스 .) 각운동량의 보존은 다음에 적용됩니다. 제이, 하지만 하지 또는 에스 예를 들어, 스핀-궤도 상호작용은 각운동량이 에스, 남은 총계가 일정합니다. 전자와 광자는 총 각운동량에 대해 정수 기반 값을 가질 필요는 없지만 분수 값을 가질 수도 있습니다. [33]

분자에서 총 각운동량 에프 rovibronic (orbital) 각운동량의 합 , 전자 스핀 각운동량 에스, 그리고 핵스핀 각운동량 나는. 전자 단일 선 상태의 경우 회전 각운동량은 다음과 같이 표시됩니다. 제이 보다는 . Van Vleck이 설명했듯이 [34] 분자 고정 축을 지칭하는 분자 진동 각운동량의 구성 요소는 공간 고정 축에 대한 구성 요소의 정류 관계와 다릅니다.

양자화 편집

양자 역학에서 각운동량은 양자화됩니다. 즉, 연속적으로 변할 수 없고 특정 허용 값 사이의 "양자 도약"에서만 변할 수 있습니다. 모든 시스템에 대해 다음과 같은 측정 결과 제한이 적용됩니다. 여기서 ℏ 는 축소된 플랑크 상수이고 n ^ >>는 x, y 또는 z와 같은 유클리드 벡터입니다.

측정하면. 결과는 수 있습니다.
L n ^ <디스플레이 스타일 L_>> … , − 2 ℏ , − ℏ , 0 , ℏ , 2 ℏ , …
S n ^ < displaystyle S _ < hat >> 또는 J n ^ >> … , − 3 2 ℏ , − ℏ , − 1 2 ℏ , 0 , 1 2 ℏ , ℏ , 3 2 ℏ , … <2>>hbar ,- hbar,-< frac <1> <2 >> hbar, 0, < frac <1> <2 >> hbar, hbar, < frac <3> <2 >> hbar, ldots>
L 2 = L x 2 + L y 2 + L z 2 & ampL ^ <2> = <> & ampL_^ <2> + L_^<2>+L_^<2>끝>> [ ℏ 2 n ( n + 1 ) ] n(n+1) ight]> , 여기서 n = 0 , 1 , 2 , …
S 2 > 또는 J 2 > [ ℏ 2 n ( n + 1 ) ] n(n+1) ight]> , 여기서 n = 0 , 1 2 , 1 , 3 2 , … <2>>,1,<2>>,ldots >

(추가 제한 사항도 있습니다. 자세한 내용은 각운동량 연산자를 참조하십시오.)

감소된 플랑크 상수 ℏ 는 일상적인 기준으로 약 10 −34 J s로 작기 때문에 이 양자화는 거시적 물체의 각운동량에 눈에 띄게 영향을 미치지 않습니다. 그러나 미시 세계에서는 매우 중요합니다. 예를 들어, 화학에서 전자 껍질과 하위 껍질의 구조는 각운동량의 양자화에 의해 크게 영향을 받습니다.

각운동량의 양자화는 원자의 보어 모델에서 Niels Bohr에 의해 처음 가정되었으며 나중에 Erwin Schrödinger가 Schrödinger 방정식에서 예측했습니다.

불확실성 편집

정의에서 L = r × p =mathbf imes mathbf

> , 6개의 연산자가 관련됩니다. 위치 연산자 r x >, r y < displaystyle r_>, r z < displaystyle r_> 및 운동량 연산자 p x > , p y <디스플레이 스타일 p_>, p z < displaystyle p_> . 그러나 하이젠 베르크 불확도 원리는 이러한 6 가지 양 모두를 임의의 정밀도로 동시에 알 수는 없음을 알려줍니다. 따라서 입자의 각운동량에 대해 알려지거나 측정할 수 있는 것에는 한계가 있습니다. 우리가 할 수 있는 최선은 한 축을 따라 각운동량 벡터의 크기와 그 성분을 동시에 측정하는 것입니다.

불확실성은 각운동량 연산자의 다른 구성요소가 통근하지 않는다는 사실과 밀접한 관련이 있습니다(예: L x L y ≠ L y L x 엘_ eq L_엘_> . (정확한 정류 관계는 각운동량 연산자를 참조하십시오.)

회전 생성기로서의 총 각운동량

모든 시스템을 사용하여 축을 중심으로 각도 ϕ < displaystyle phi> n ^ < displaystyle < hat < mathbf >>> . (공식의 "exp"는 연산자 지수를 나타냅니다.) 이것을 반대로 말하면, 양자 힐베르트 공간이 무엇이든 간에 회전 그룹 SO(3)이 이에 작용할 것으로 예상합니다. 그런 다음 SO(3)의 거짓말 대수 so(3)의 관련 동작이 있습니다. 힐베르트 공간에서 so(3)의 동작을 설명하는 연산자는 (총) 각운동량 연산자입니다.

각운동량 연산자와 회전 연산자의 관계는 수학의 거짓말 대수와 거짓말군의 관계와 같습니다. 각운동량과 회전 사이의 밀접한 관계는 물리학 법칙이 회 전적으로 불변 할 때마다 각운동량이 보존된다는 것을 증명하는 Noether의 정리에 반영됩니다.

전자기장에서 하전 입자의 운동을 설명할 때 표준 운동량 (이 시스템의 Lagrangian에서 파생됨)은 게이지 불변이 아닙니다. 결과적으로 표준 각운동량은 = 아르 자형 × 게이지 불변도 아닙니다. 대신 물리적인 운동량, 이른바 운동 운동량 (이 기사 전체에서 사용됨) is (SI 단위)

어디 이자형 는 입자의 전하이고 전자기장의 자기 벡터 전위. 게이지 불변 각운동량, 즉 운동 각운동량, 에 의해 주어진다

양자 역학과의 상호 작용은 정규 정류 관계에 대한 기사에서 자세히 설명합니다.

고전 맥스웰 전기역학 포인팅 벡터는 전자기장의 선형 운동량 밀도입니다. [36]

위의 신원은 유효합니다 장소 상에서, 즉 각 공간 점 r > 주어진 순간에 t .

뉴턴, 프린키피아, 운동 제1법칙의 예에서 각운동량을 암시하며,

응집력에 의해 부분이 직선 운동을 제외하고 영구적으로 그려지는 상판은 공기에 의해 지연되는 것 외에는 회전을 멈추지 않습니다. 행성과 혜성의 더 큰 몸체는 더 많은 자유 공간에서 더 적은 저항으로 만나 훨씬 더 오랜 시간 동안 진행 및 원형 운동을 유지합니다. [38]

그는 더 이상 각운동량을 직접적으로 조사하지 않았습니다. 프린키피아,

이러한 종류의 반사에서 때때로 자신의 중심을 중심으로 몸의 원형 운동이 발생합니다. 그러나 이것들은 내가 다음에서 고려하지 않는 경우이며 이 주제와 관련된 모든 세부 사항을 설명하는 것은 너무 지루할 것입니다. [39]

그러나 그의 기하학적인 면적법칙 증명은 뉴턴의 천재성을 잘 보여주는 예이며, 중심력의 경우 각운동량 보존을 간접적으로 증명한다.

영역의 법칙

뉴턴의 유도

행성이 태양을 공전할 때 태양과 행성 사이의 선은 동일한 시간 간격으로 동일한 영역을 쓸어냅니다. 이것은 케플러가 행성 운동의 두 번째 법칙을 설명할 때부터 알려져 있었습니다. 뉴턴은 독특한 기하학적 증명을 도출했고 태양의 중력의 인력이 모든 케플러 법칙의 원인이라는 것을 보여주었습니다.

첫 번째 시간 간격 동안 물체는 점에서 움직이고 있습니다. 가리키다 . 방해받지 않고 계속 가리킬 것입니다. 두 번째 간격 동안. 물건이 도착하면 , 점으로 향하는 임펄스를 받습니다. 에스. 충동은 그것에 대해 약간의 추가 속도를 제공합니다. 에스, 이것이 유일한 속도라면, ...에 V 두 번째 간격 동안. 속도 구성 규칙에 따라 이 두 속도는 더해지고 평행 사변형의 구성에 의해 발견됩니다 BCV. 따라서 물체의 경로는 충격에 의해 편향되어 지점에 도달합니다. 두 번째 간격이 끝날 때. 삼각형 때문에 SBcSBC 같은 기반을 가지고 SB 그리고 같은 높이 기원전 또는 VC, 그들은 같은 영역을 가지고 있습니다. 대칭, 삼각형 SBc 또한 삼각형과 같은 면적을 가지고 있습니다. SAB, 따라서 물체는 동일한 면적을 쓸어내렸습니다. SABSBC 같은 시간에.

시점에서 , 물체는 다음을 향한 또 다른 충동을 받습니다. 에스, 세 번째 간격 동안 경로를 다시 편향시킵니다. ...에 . 따라서 계속 이자형 그리고 그 너머, 삼각형 SAB, SBc, SBC, SCd, SCD, SDe, SDE 모두 같은 면적을 가지고 있습니다. 시간 간격이 점점 더 작아 지도록 허용하는 경로 에이 비 씨 디이 연속 곡선에 무한히 가깝게 접근합니다.

이 유도는 기하학적이고 특별한 힘이 가해지지 않기 때문에 케플러의 행성 운동의 두 번째 법칙보다 더 일반적인 법칙임을 증명합니다. 면적 법칙은 인력 또는 반발력, 연속적 또는 비연속적 또는 0인 모든 중심력에 적용됨을 보여줍니다.

면적 법칙의 각운동량 보존

움직이는 물체가 휩쓴 면적에 대한 각운동량의 비례는 삼각형의 밑변, 에스 물체에, 반경 r과 동일하고 삼각형의 높이는 속도 v의 수직 성분에 비례합니다. . 따라서 단위 시간당 휩쓸린 면적이 일정하면 삼각형 면적 공식 1 / 2 (밑)(높이) , 곱 (밑)(높이) 따라서 곱 rv 상수 : r과 기본 길이가 감소하면 v 높이는 비례 적으로 증가해야합니다. 질량은 일정하므로 각운동량 rmv 이 거리와 속도의 교환에 의해 보존됩니다.

뉴턴 편집 후

Leonhard Euler, Daniel Bernoulli 및 Patrick d'Arcy는 모두 케플러의 행성 운동 제2법칙을 분석한 결과 각운동량을 면적 속도 보존의 관점에서 이해했습니다. 그들은 평범한 회전 물질에 대한 의미를 깨달았을 것 같지 않습니다. [40]

1736년 오일러는 뉴턴과 마찬가지로 그의 책에서 각운동량 방정식의 일부를 다루었습니다. Mechanica 더 이상 개발하지 않고. [41]

Bernoulli는 1744년 편지에서 "회전 운동의 순간"에 대해 썼는데, 아마도 우리가 지금 이해하고 있는 각운동량의 첫 번째 개념일 것입니다. [42]

1799년 Pierre-Simon Laplace는 고정 평면이 회전과 관련되어 있음을 처음으로 깨달았습니다. 불변 평면.

1803 년 Louis Poinsot는 회전을 회전에 수직 인 선분으로 표현하기 시작했으며 "모멘트 보존"에 대해 자세히 설명했습니다.

1852년 Léon Foucault는 지구의 자전을 표시하기 위한 실험에서 자이로스코프를 사용했습니다.

윌리엄 J. M. 랭킨의 1858 응용 역학 매뉴얼 현대적인 의미에서 처음으로 각운동량을 정의했습니다.

. 길이가 각운동량의 크기에 비례하고 방향이 물체의 운동 평면과 고정점에 수직인 선 등 물체의 운동을 물체의 끝에서 보았을 때 선에서, 몸체의 반경 벡터는 오른쪽 회전을 하는 것처럼 보입니다.


재료 및 방법

실험 절차

운동학적 및 운동학적 보행 데이터는 실험 대상으로 인간의 사용에 관한 Spaulding 위원회의 승인을 받은 연구에서 Harvard 의과대학 Spaulding 재활 병원의 보행 연구소에서 수집되었습니다. 20 세에서 38 세 사이의 건강한 성인 참가자 10 명 (남성 5 명과 여성 5 명)이 연구에 자원했습니다. 참가자들은 모션 분석 ​​연구소에서 10m 길이의 산책로를 스스로 선택한 속도로 걸었습니다. 참가자들은 두 개의 고정된 지점 사이에서 시간을 측정하여 실험 시도 간에 동일한 보행 속도가 사용되었는지 확인했습니다. 스스로 선택한 속도에서 ±5% 이내의 보행속도를 인정하였다. 각 연구 참가자에 대해 총 7개의 보행 시도가 수집되었습니다.

데이터 수집 절차는 표준 기술을 기반으로 했습니다(Kadaba et al., 1989 Winter, 1990 Kadaba et al., 1990 Kerrigan et al., 2000 Kerrigan et al., 2001). 적외선 카메라 시스템(8대의 카메라, VICON 512 모션 분석 ​​시스템, Oxford Metrics, Oxford, UK)이 120 프레임 s-1에서 반사 마커의 3차원 위치를 측정하는 데 사용되었습니다. 참가자 신체의 다양한 부분에 총 33 개의 마커 (하체 마커 16 개, 몸통 마커 5 개, 상지 마커 8 개, 머리 마커 4 개)가 배치되었습니다. 마커는 다음의 뼈 랜드마크에 부착되었습니다: 양측 전방상장골극, 후방상장골극, 외측 대퇴골과, 외측복사, 앞발 및 발뒤꿈치. 추가 마커는 경골의 중간 대퇴골과 중간 샤프트 위의 지팡이에 단단히 부착되었습니다. 상체의 운동학은 흉골, 쇄골, C7 척추, T10 척추, 머리 및 어깨, 팔꿈치 및 손목의 양측에 배치된 마커로 수집되었습니다. VICON 512 시스템은 ~ 1mm의 정밀도로 마커 위치를 감지 할 수있었습니다.

보행 시도 동안 지면 반력은 2개의 지그재그 하중 플랫폼(모델 번호 2222 또는 OR6-5-1, Advanced Mechanical Technology Inc., Watertown, MA, USA를 사용하여 1080Hz의 샘플링 속도로 운동학적 데이터와 동시에 측정되었습니다. ) 보도에 포함되어 있습니다. 플랫폼은 지면 반력과 CP 위치를 각각 ~0.1N 및 ~2mm의 정밀도로 측정했습니다.

인간 모델

CM 위치 및 각운동량과 같은 물리량을 계산하기 위해 인간 모델을 구성했습니다. 연구에 사용된 모델과 좌표계는 그림 1에 나와 있습니다. 이 모델은 16개의 강체 세그먼트(발, 경골, 대퇴골, 손, 팔뚝, 팔, 골반-복부, 가슴, 목 및 머리)로 구성됩니다. 발과 손은 직사각형 상자로 모델링되었습니다. 경골 분절, 대퇴골 분절, 팔뚝 분절 및 팔 분절은 잘린 원뿔로 모델링되었습니다. 골반-복부 및 가슴 부분은 타원형 슬래브[수평의 타원(x–y) 평면 및 수직으로 돌출() 방향]. 목은 원통으로, 머리는 구로 모델링했습니다.대표 모델을 정확하게 구성하기 위해 각 연구 참가자에 대해 다음 28개의 인체 측정값을 수행했습니다. 발과 손 세그먼트 (3) 경골, 대퇴골, 팔뚝 및 팔의 세그먼트 길이 및 근위 / 원위 기저 반경 (4) 가슴 및 골반-복부 세그먼트의 높이, 너비 및 두께 및 (5) 머리 반경. 목 반경은 머리 반경의 절반과 동일하게 설정되었습니다. 인간 모델은 총 38개의 내부 자유도 또는 32개의 내부 자유도(다리에 12개, 팔에 14개, 머리, 목 및 몸통에 6개)와 외부 자유도 6개를 가졌습니다.

인간 모델의 수용을 위해 우리는 각 세그먼트의 상대 질량과 밀도가 문헌의 인간 형태 학적 데이터와 합리적으로 일치해야합니다 (Winter, 1990). 상대 질량은 분절 질량을 전체 체질량으로 나눈 것으로 정의하고 밀도는 분절 질량을 분절 부피로 나눈 값으로 정의했습니다. 상대 질량과 밀도가 모두 문헌에서 세그먼트의 평균 실험 값의 1 표준 편차 내에 있는 경우 세그먼트 설계를 수락했습니다. 각 모델 세그먼트의 상대 질량이 문헌에서 각 세그먼트의 평균 실험 값과 동일하게 설정되면 모델 세그먼트 밀도가 실험 평균에서 2 표준 편차 이상으로 떨어지는 비정상이 되는 경우가 많습니다. 이와는 달리 각 모델 세그먼트의 밀도를 문헌에서 각 세그먼트의 평균 실험값과 동일하게 설정하면 모델 상대 질량이 비정상적으로 나타납니다. 이 어려움을 해결하기 위해 모델과 실험 밀도 값 간의 오차가 최소화될 때까지 모델 상대 질량을 변경하는 최적화를 수행했습니다. 그런 다음 각 세그먼트의 상대 질량과 밀도가 Winter(Winter, 1990)에 보고된 실험 평균의 1 표준 편차 내에 있음을 확인했습니다.


1.3 공부할 준비가 되었습니까?

학습 설명 이 모듈을 학습하려면 다음 용어에 익숙해야 합니다. 각도 각도 측정 (정도, 라디안, 관계 에스 = r & theta 호 길이 사이 에스, 반경 아르 자형 그리고 휩쓸린 각도 & 세타), 지역볼륨solid_of_revolution 일반 솔리드, 데카르트 좌표계, 밀도, 에너지, , 운동 에너지, 질량, 뉴턴의 운동 법칙, SI 단위 (거리, 힘 및 에너지), 병진 평형, 등가속도 방정식, 균일 한 원 운동 (각속도, 속도 그리고 이들 사이의 관계), 벡터 벡터 표기법 ( magnitude_of_a_vector_or_vector_quantity 크기, components_of_a_vector 벡터 구성 요소, 성분 벡터, vector_addition 추가, vector_차이 뺄셈), 무게, 작업, algebraic_expression 대수trigonometric_identities 삼각 방정식 이들의 조작과 미적분 미적분 표기법, 포함 차별화, 및 완성 단순한 다항식 함수. 이러한 용어에 대해 불확실한 경우 다음을 참조하여 지금 검토할 수 있습니다. 용어 사전, 이는 어디에 있는지 나타냅니다. 플랩 그들은 소개됩니다. 다음 질문을 통해 모듈을 시작하기 전에 일부 주제를 검토해야 하는지 여부를 결정할 수 있습니다.

자전거가 시속 30&thinspkm의 일정한 속력으로 미끄러지지 않고 앞으로 나아갈 때 반지름 34&thinspcm인 자전거 바퀴의 각속도는 얼마입니까?

허브에 대한 휠 가장자리의 한 점의 속도는 다음과 같습니다. 업실론(&upsilon) = 오메가(&O), 어디 &오메가 이다 각속도아르 자형 바퀴의 반경. 바퀴가 구르고 미끄러지지 않기 때문에 이것은 또한 자전거의 속도입니다. 그러므로

찾다 각속도용어 사전 자세한 내용은.

그림 1 질문 R2를 참조하십시오.

힘의 components_of_a_vector 구성 요소 찾기 에프 크기_of_a_vector_or_vector_quantity 크기 12&thinspN 엑스-– 그림 1의 축. 이 힘이 에프 3.0&thinspkg의 질량에 적용하고 A에 놓고 다음을 기록합니다. 엑스--질량 가속도의 성분.

주어진 방향에 따른 힘의 components_of_a_vector 구성 요소는 magnitude_of_a_vector_or_vector_quantity 크기 힘의 힘과 관련된 방향 사이의 각도의 코사인. 그림 1에서 힘은 양수에 대해 30 ° 각도입니다. 엑스-방향 및 60° 음수 -방향.

그만큼 엑스– 구성 요소 에프 이다

그만큼 – 구성 요소 에프 이다

뉴턴의 운동 제2법칙, 에프 = 미디엄, 으로 이끌다

관련 약관을 참조하십시오. 용어 사전 자세한 내용은.

수도관 단면의 길이는 24&thinspm, 외경 0.80&thinspm, 내경 0.74&thinspm 및 밀도 2.4× 10 3 &thinspkg&thinspm &minus3 입니다. 질량과 무게의 크기를 계산합니다(중력으로 인한 가속도의 크기를 10&thinspm&thinsps &minus2로 취함).

우리는 외부 반경을 가진 더 큰 솔리드 실린더에서 내부 반경을 가진 더 작은 솔리드 실린더를 빼서 이 문제를 해결합니다.

질량 = 밀도 & 곱하기 부피이므로 먼저 이러한 고체의 부피를 계산해야 합니다. 반지름을 계산하기 위해 지름을 2로 나누는 것을 잊지 마십시오..

실린더의 부피 = 단면적 & x 높이 = & pir 2 h

따라서 더 큰 실린더의 부피는, 파이(&P)(&thinsp)(0.40 & thinspm) 2 회 및 24 회 및 thinspm

더 작은 실린더의 부피는 파이(&P)(&thinsp)(0.37&씬즈pm) 2 × 24&씬즈pm

따라서 중공 파이프의 질량은

무게의 크기는 4.2 & 곱하기 10 4 &thinspN입니다.

의 관련 용어를 참조하십시오. 용어 사전 자세한 내용은


11.3 각운동량의 보존

지금까지 점 입자와 강체로 구성된 시스템의 각운동량에 대해 살펴보았습니다. 우리는 또한 외부 순 토크를 각운동량의 변화와 관련시키는 식(방정식 11.8)을 사용하여 관련된 토크를 분석했습니다. 이 방정식을 따르는 시스템의 예로는 마찰로 인해 발생하는 토크로 인해 시간이 지남에 따라 느려지는 자유롭게 회전하는 자전거 타이어 또는 조석 변형에 가해지는 마찰력으로 인해 수백만 년에 걸친 지구의 자전 속도가 느려집니다.

그러나 시스템에 순 외부 토크가 없다고 가정합니다. ∑ τ → = 0 . ∑ τ → = 0 . 이 경우 방정식 11.8은 각운동량 보존 법칙이됩니다.

각운동량 보존 법칙

고정된 관성 기준 좌표계의 한 점 주위에 있는 입자 시스템의 각운동량은 해당 점 주위에 순 외부 토크가 없는 경우 보존됩니다.

각운동량 보존의 예로서, 그림 11.14는 스핀을 실행하는 아이스 스케이팅 선수를 보여줍니다. 그녀의 스케이트와 얼음 사이의 마찰이 상대적으로 적기 때문에 그녀의 순 토크는 0에 매우 가깝습니다. 또한, 마찰은 피벗점에 매우 가깝게 가해집니다. 둘 다 | 여 → | 및 | r → | | 여 → | 및 | r → | 작아서 | τ → | | τ → | 무시할 수 있습니다. 결과적으로 그녀는 꽤 오랫동안 회전할 수 있습니다. 그녀는 또한 팔과 다리를 당겨서 회전 속도를 높일 수 있습니다. 팔과 다리를 당기면 회전 속도가 증가하는 이유는 무엇입니까? 답은 그녀의 각운동량이 일정하다는 것입니다.

여기서 프라이밍 된 수량은 그녀가 팔을 당겨 관성 모멘트를 줄인 후의 조건을 나타냅니다. I ' I '가 더 작기 때문에 각운동량을 일정하게 유지하려면 각속도 ω ' ω '가 증가해야 합니다.

스케이터가 팔을 당길 때 회전 운동 에너지가 어떻게 변하는지 보는 것은 흥미롭습니다. 그녀의 초기 회전 에너지는 다음과 같습니다.

그녀의 최종 회전 에너지는

태양계는 우리 우주에서 각운동량 보존이 어떻게 작용하는지 보여주는 또 다른 예입니다. 우리 태양계는 초기에 회전 에너지를 가진 거대한 가스와 먼지 구름에서 태어났습니다. 중력으로 인해 구름이 수축하고 각운동량 보존의 결과 회전 속도가 증가했습니다(그림 11.15).

엔지니어링에 적용 할 수있는 예제로 계속 논의합니다.

실시예 11.7

결합 플라이휠

전략

해결책

비. 접촉하기 전에 하나의 플라이휠만 회전합니다. 이 플라이휠의 회전 운동 에너지는 시스템의 초기 회전 운동 에너지 인 1 2 I 0 ω 0 2 1 2 I 0 ω 0 2입니다. 최종 운동 에너지는 1 2 ( 4 I 0 ) ω 2 = 1 2 ( 4 I 0 ) ( ω 0 4 ) 2 = 1 8 I 0 ω 0 2 입니다. 1 2 ( 4 I 0 ) ω 2 = 1 2 ( 4 I 0 ) ( ω 0 4 ) 2 = 1 8 I 0 ω 0 2 .

따라서 초기 운동 에너지에 대한 최종 운동 에너지의 비율은

따라서 초기 운동 에너지의 3/4가 두 플라이휠의 결합으로 인해 손실됩니다.

의미

놀이터에서 회전 목마가 4.0 rev / min으로 회전합니다. 세 명의 어린이가 뛰어올라 회전목마/어린이 회전 시스템의 관성 모멘트를 25% 25% 증가시킵니다. 새로운 회전율은 얼마입니까?

실시예 11.8

높은 바에서 내리기

전략

해결책

턱의 관성 모멘트는 I f = 1 12 m L f 2 = 1 12 80.0 kg ( 0 . 9 m ) 2 = 5.4 kg · m 2 I f = 1 12 m L f 2 = 1 12 80.0 kg ( 0 . 9 m ) 2 = 5.4 kg · m 2 .

각운동량 보존: I f ω f = I 0 ω 0 ⇒ ω f = I 0 ω 0 I f = 21.6 kg · m 2 ( 1.0 rev / s ) 5.4 kg · m 2 = 4.0 rev / s I f ω f = 나 0 ω 0 ⇒ ω f = 나 0 ω 0 나는 f = 21.6kg · m 2 ( 1.0 rev / s ) 5.4 kg · m 2 = 4.0 rev / s .

턱의 시간 간격: t = 2 h g = 2 ( 3.0 − 1.8 ) m 9.8 m / s = 0.5 s t = 2 h g = 2 ( 3.0 − 1.8 ) m 9.8 m / s = 0.5 s .

0.5초 안에 그는 4.0 rev/s로 두 번 회전할 수 있습니다.

의미

실시예 11.9

충돌의 각운동량 보존

전략

해결책

디스크에 총알이 박힌 시스템의 관성 모멘트는

시스템의 최종 각운동량은

따라서 각운동량의 보존에 의해 L i = L f L i = L f 및

의미

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    • 저자: 윌리엄 뫼브스, 사무엘 J. 링, 제프 새니
    • 게시자/웹사이트: OpenStax
    • 책 제목: 대학 물리학 1권
    • 발행일: 2016년 9월 19일
    • 위치 : 텍사스 주 휴스턴
    • 책 URL: https://openstax.org/books/university-physics-volume-1/pages/1-introduction
    • 섹션 URL: https://openstax.org/books/university-physics-volume-1/pages/11-3-conservation-of-angular-momentum

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    토론

    여기에서 우리는 근축 한계에 가까운 빔을 고려했으며 스핀과 궤도 각운동량의 독립이 총 각운동량의 새로운 정의를 허용하는 방법을 보여주었습니다. 그러나 최근에 독립 스핀과 궤도 각운동량이 이 한계를 넘어 정의될 수 있음이 밝혀졌습니다(19, 34, 35). 이것은 총 각운동량 성분의 비근축 일반화를 즉시 제공합니다. 제이γ, 여기에서 가정한 스핀 및 궤도 각 운동량에 대한 근축 형태를 비근축 형태로 대체합니다. 비 근축 스핀과 궤도 각운동량은 독립적으로 보존되므로 이는 보존 된 양이기도합니다. 이들은 회전 연산자의 수정된 형태, 특히 지정된 축을 중심으로 필드 벡터(스핀) 및 이미지(궤도)를 회전하는 횡방향 부분입니다. 해당하는 총 각운동량 제이γ 고정 비율 γ로 이러한 수정 된 회전을 동시에 생성합니다.

    우리가 식별한 새로운 형태의 총 각운동량은 비균일 편광을 갖는 빔의 관점에서 상태 공간의 대안적인 표현을 제공하여 광학 각운동량의 효과에 대한 새로운 이해로 이어집니다. 그것의 반정수 스펙트럼은 전자 시스템에 대해 이미 알려진 바와 같이 빛에 대해 감소된 차원이 새로운 형태의 양자화를 허용한다는 것을 보여줍니다. 잡음 측정을 통해 시연하는 반정수 양자화는 페르미온 교환 통계를 의미하며 우리 작업의 중요한 확장은 이러한 광자 페르미온화의 측정 가능한 결과를 식별하는 것입니다.


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    참고 문헌

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    목성의 총 회전 각운동량 추정치는? -천문학

    전형적인 적색 거성은 천천히 회전합니다. 이 특성은이 별들이 진화하는 동안 팽창함에 따라 각운동량의 보존에서 예상됩니다. 그럼에도 불구하고 적은 비율의 적색 거성들이 빠르게 회전하고 있습니다. 이 별들의 과도한 각운동량의 한 가지 가능한 원인은 행성 동반자의 궤도 각운동량입니다. 궤도 각운동량의 항성 외피로의 전달은 행성의 궤도를 붕괴시켜 궁극적으로 행성의 빠른 나선형으로 이어지는 항성으로 이어집니다. 주 계열 호스트 별 주변의 알려진 외계 행성 샘플을 사용하여이 별들의 미래 진화와 행성과의 예상되는 상호 작용을 시뮬레이션하고 목성 질량 행성이 내부 태양계 거리에 존재한다는 사실을 발견했습니다. -- 적색 거성 단계에서 호스트 항성에서 빠른 회전을 일으키기에 충분한 각운동량을 제공할 수 있습니다. 가스 거대 행성은 또한 그들이 부착 될 때 그들의 호스트 별의 외피의 화학적 구성을 바꿀만큼 충분히 거대하다. 이 논문의 중심 실험은 행성 강착을 나타낼 수 있는 급속 회전자에서 풍부 이상을 찾는 것입니다.가설 적 이상 현상에는 첫 번째 준설 과정에서 거성에 의해 희석되는 빛 원소의 보충 (예 : 리튬의 항성 표면 풍부), 핵 합성에 의해 변경된 동위 원소 풍부 비율의 변화 (예 : 항성 표면 증가 12C / 13C)가 포함됩니다. ) 및 내화 요소의 우선적 향상(행성과 같이 화학적으로 분류된 물질의 부착을 나타냄). 알려진 급속 회전자의 총 수를 늘리기 위해 NASA의 Space Interferometry Mission's astrometric grid를 위해 개발된 Grid Giant Star Survey를 위해 수집된 대규모 스펙트럼 데이터베이스에서 회전 속도를 측정했습니다. 이 샘플에서 발견된 28개의 새로운 급속 회전자는 문헌의 급속 회전자와 느린 회전자의 대조 샘플과 결합되어 풍부 실험을 위한 새로운 샘플을 형성했습니다. 이 논문은 "정상적인"행성 구성을 가진 몇 개의 목성 질량의 행성들이 관찰 된 회전 속도와 풍부한 적색 거성 급속 회 전체를 모두 재현 할 수 있다는 증거를 제시합니다.


    1 답변 1

    깨달아야 할 첫 번째 요점은 자전거가 강체가 아니라는 것입니다. 그것을 세 부분으로 분해할 수 있습니다(두 개의 바퀴와 자전거 프레임). 각각의 각운동량과 합을 별도로 평가할 수 있습니다.

    각 바퀴에 대해 총 각운동량은 바퀴의 질량 중심에 대한 각운동량에 질량 중심의 각운동량을 더한 값으로 제공됩니다. 이것은 준다

    두 바퀴의 경우 $ I_$는 질량 중심에 대한 관성 운동량이고, 반경 $ R_w $ 및 질량 $ m_w $입니다 (두 바퀴가 동일하다고 가정). $ -V / R_w = omega $는 각 바퀴의 각속도입니다.

    자전거 프레임의 경우

    수평으로 만 번역되기 때문입니다. 여기 $y_$는 프레임 질량 중심의 수직 위치이고 $M$은 프레임 질량입니다. 우리가 얻는 모든 조각을 합치면

    $vec = -2 나_ frac<>> 모자 -2m_ VR_ 모자 - 뮤직비디오 모자$

    그러나 이것은 다음과 같이 다시 쓸 수 있습니다.

    는 자전거의 총 질량이며

    는 자전거 무게 중심의 수평 위치입니다. 그래서

    최종 결과는 회전하는 바퀴의 질량 중심에 대한 각운동량과 자전거 질량 중심의 각운동량의 합입니다.


    비디오보기: 기초물리 6-1회전운동과 각운동량 (팔월 2022).